← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (-139745520947966193753559655612a^{2} + 261348795276310252626929295268a - 146694929710190168361177820732 )x^{46} + (234579159658645856423407829776a^{2} + 226996085178241942578475956032a + 524169104786190069454207489800 )x^{45} + (-155617770480968784368060685536a^{2} - 543850349838239370006602162528a + 29091639599131812290184582720 )x^{44} + (447476913100813237102908704400a^{2} + 383338898023065504380033448568a - 323790409015722451323090524680 )x^{43} + (603614373329611579926911408260a^{2} + 236424468222794733802612866276a + 388958333278534973301036149836 )x^{42} + (102927284812984288949506597888a^{2} + 261383998437679863132256882056a - 119629328136346836589985719632 )x^{41} + (-197512796631116127735390456992a^{2} + 539366394807440083855325300100a + 377221928896427974016653806492 )x^{40} + (464493295322475906860761443824a^{2} + 10139255237882964928488428368a + 604964830423834316473038599984 )x^{39} + (602982489775374619310830635028a^{2} - 566799060450697449391901603280a - 485479353692230314377984497916 )x^{38} + (-173635058837533583886884639320a^{2} + 163315119833975425507191865336a + 470545805045384665889651244232 )x^{37} + (-388938563406990609272552304804a^{2} + 61698117128831481861206288404a + 328081861595485393902178481800 )x^{36} + (-365511916275256487862644781648a^{2} + 463646387096619111501885329168a - 385002773746893450841920503616 )x^{35} + (200760455913329236129128662504a^{2} - 286700124757288159802109556500a - 40439559378581089736609031544 )x^{34} + (-184473177214269167911799442400a^{2} - 64589501297393794373001587480a - 405163989804696996206783033032 )x^{33} + (-544049824844286704746923641778a^{2} - 156335507358710768907306898422a - 172459902345527051688953595552 )x^{32} + (-320119979285295572475051751280a^{2} - 335498536011618414326490886352a - 622866876312454282085489656032 )x^{31} + (552954571664920465600013602256a^{2} + 6486416037990391619569995688a - 138022278174928779218856150704 )x^{30} + (-562694287076247549590034225784a^{2} + 198464384755245622225411871688a - 226331661219023420115018801248 )x^{29} + (-452608695866328536861201180564a^{2} + 205241768725640524407425843368a + 164615319760738375759806758540 )x^{28} + (509425451862215586855720685200a^{2} - 416323029272054053816417907168a + 440712433597466274792872123312 )x^{27} + (-140522662074841703470609193088a^{2} - 258736676535774364765694919360a + 231790681673540490472541939640 )x^{26} + (621802173849890771490902313736a^{2} + 517858661433501001098221686048a + 276247863357340731233061048680 )x^{25} + (227085772232324280664108760496a^{2} + 257667697247180256345912399532a + 344022666427039278131273694696 )x^{24} + (266069657046733045259253040352a^{2} + 593522443134027377163137069984a - 631886346355131011577298706816 )x^{23} + (-600819293380195818260886183816a^{2} + 612721962567174675933821577728a - 332772920499217958560441657512 )x^{22} + (-365496322990616295812255132032a^{2} - 360974424483885683090664572448a - 212326675567687935079538742912 )x^{21} + (461278164572144464591392813808a^{2} + 39300924382443350316248058160a + 499617999353384394883151763592 )x^{20} + (548119103540405737357434036752a^{2} - 509968098826365765216330573360a + 238242101741298539170265309824 )x^{19} + (355212762672792689796388836776a^{2} - 430888861059085801527123897528a + 391881244612801930314645181304 )x^{18} + (-480037216430816653273352638448a^{2} + 27722500782822132739971765648a - 8677534058717730797320546432 )x^{17} + (-175087639353209076506037476160a^{2} - 594303447615437924269564587592a + 236205488719400660811250221708 )x^{16} + (442903137911538935427841828032a^{2} - 68877066128561718276753070944a + 145039449021339497799834737888 )x^{15} + (488037321559903856038127453232a^{2} - 26462802057088746835934535680a - 364424277787342612729282646944 )x^{14} + (-162265812884775504923390042608a^{2} + 529055935224637379769073803776a + 498085406930592082853295049328 )x^{13} + (60695846245677824971820445664a^{2} - 468186098567659810260173245720a + 84181930729795264560649178432 )x^{12} + (-345532453258735064303599753088a^{2} + 460848883144533094613030017504a - 168899111785040813870136458944 )x^{11} + (-296380263060638922730905371080a^{2} + 460949464302817760857858736720a - 579077226004136432824495056144 )x^{10} + (569565522003061089383992738336a^{2} - 351485196107588408772518707600a - 196252761027111779987638863152 )x^{9} + (-78385230002896709590560037084a^{2} - 437885309650966743562945692492a - 10878736286546131880879913220 )x^{8} + (-76857008301874916776240157728a^{2} + 523459271947112784087960735200a + 146845468492493646784813793696 )x^{7} + (535010508681380853614655603552a^{2} - 515284827789475914144078698768a + 21180946174696965903743780784 )x^{6} + (546505691749912584377979380672a^{2} - 229973300858340678681677035168a - 302784405252110089746685526464 )x^{5} + (-302970640222340666425516521312a^{2} + 352923779072187533961309809504a + 203398128346937733078189379016 )x^{4} + (355318854348430913421726635872a^{2} - 241964106418820099299084971808a + 293691719728257462975934228704 )x^{3} + (-385768884205933007382848650128a^{2} - 120991619347793774057836626336a + 90243438364593702620138470400 )x^{2} + (-424047726415265980709716909408a^{2} + 309734113660460322050578452576a - 48871734642179131869580323600 )x + 35811757202900748384355649444a^{2} + 441635660703004738288821503648a + 273765841182836250730737893808 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary