← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (-445792794945580725491685183316a^{2} + 123739105452276727645568237780a + 355892642268170704025385792152 )x^{46} + (-100111020326032861339629224576a^{2} - 626551335290401768596168145104a - 389123163593072084853105573832 )x^{45} + (-304554156763476228776832220008a^{2} + 461523472751525948254263555244a - 577565287365362638982114031744 )x^{44} + (306438490336598780780844503296a^{2} + 522286293319479474263761672352a - 380285870912361373144384245488 )x^{43} + (193892110952666294943385507432a^{2} + 198327337089511465636490100068a - 489534413325535216769240078080 )x^{42} + (468089049338357458313071984080a^{2} + 2420226762479552946156562888a - 446991442892137208773401372160 )x^{41} + (516322671978394303297322111676a^{2} - 509743083926866884526951103796a + 615857871395968428798748139412 )x^{40} + (-10565033185881661664422857280a^{2} + 515306824596402409469744819200a - 373128782777323209038933893072 )x^{39} + (269334285617612086353351693712a^{2} - 293739143679231861760590747488a + 156404507183506450594601103784 )x^{38} + (353861581627274210152770976944a^{2} - 135384431348504322468919336288a - 157343359190766919615168729264 )x^{37} + (609749416672969200242103365816a^{2} - 62247069295196131304197065708a + 365706337816334414961538576936 )x^{36} + (309016459170420439853292180672a^{2} - 591628946322077761286952599264a + 387021219154222439388532601344 )x^{35} + (-79534491945532387630195423448a^{2} + 391708139399036039386100939836a + 199787545857016732050208742192 )x^{34} + (40809976253665358971519253544a^{2} - 565089963213146029461236353904a - 383717655710847915514559849760 )x^{33} + (-620029219038004376908081315256a^{2} + 452494744366762655588951025106a + 388291523989762949981230614972 )x^{32} + (-230864923858344710262821361040a^{2} + 253016758084292607952231327728a + 2692122494792446266337994256 )x^{31} + (-499270511464346824356129449752a^{2} + 211381676276648878733909690096a - 146970818425368456449906606696 )x^{30} + (356149575058520720746726995680a^{2} - 627311509167544877057688127208a - 21935423758707487216973075344 )x^{29} + (152836473251946894574271537004a^{2} - 364749301021678793356962787212a - 304901826683167663266664076104 )x^{28} + (309271317682013114153467756224a^{2} - 420184976526286720608948636384a - 8595586102830909480031236240 )x^{27} + (3788551919404766194751325520a^{2} - 34158083223580786251443914904a - 237164686317667060219424213480 )x^{26} + (500635566814584995970458562000a^{2} - 231955789700656672137439913680a + 398723078773456476673537672288 )x^{25} + (299534252287514903404604270384a^{2} + 406339103022999661465329204052a - 237384903656205304728762052388 )x^{24} + (-535127425968421927150465030416a^{2} - 316531502214006083883377429776a - 489882151020584937392556440320 )x^{23} + (46040544900461160014528440552a^{2} - 452961328594394744949683503816a - 294028202110543548027549321616 )x^{22} + (357939964127707138653158383168a^{2} - 519464014487187643823691410336a - 550231353189663467005251111760 )x^{21} + (-257843339685005124233082440600a^{2} + 277655309999605904348291677848a + 591441112023459111116827484432 )x^{20} + (214131118234490170846699688896a^{2} + 596265121317662912910677275136a + 333073311502580414585283992704 )x^{19} + (621026954850747463993508394408a^{2} + 214837052840537072581722565648a - 29971458561003978665937750312 )x^{18} + (454459899850780102328550780048a^{2} + 371986977694799734353734929184a - 315747815275511059362387843888 )x^{17} + (221536893479387483467486431464a^{2} - 355533991098542676231323784180a - 387898647376130556523744083808 )x^{16} + (436245093099661832421844897568a^{2} + 601634806052732400286457251808a + 150403257915053406219962215040 )x^{15} + (402153021460417705324591327480a^{2} - 588012164127039475858231506072a + 243879620872508255633247584824 )x^{14} + (624259013584036212845882813104a^{2} + 433999685766222653705768490304a + 135990014574011242699684549168 )x^{13} + (29695789931999923294161207136a^{2} - 179555601250806178128251466080a + 249232536548749901089270251696 )x^{12} + (613325848117037638711397692128a^{2} + 596810395589216199354229756576a + 415389009495382242075380036480 )x^{11} + (66863858180384903184819137264a^{2} - 433980332675448397174304463320a - 444256471800951011874031365376 )x^{10} + (221992405062615957218135912112a^{2} - 459812094518933525006613639744a + 226626508075407683100679507264 )x^{9} + (-320879103769667935163382311256a^{2} + 524973193999201285772999875804a - 101445866650860816174147441024 )x^{8} + (494259992559009642214298904768a^{2} + 340729329907868481121836323872a - 235473390589807771357996955840 )x^{7} + (170714495485431886252809461136a^{2} + 349214909462293456087764437152a + 77415901575995160581477247360 )x^{6} + (171950752039307131804814724512a^{2} - 357965915480734202282940584208a - 188417318106281187804088462960 )x^{5} + (-631945980726587673609026553992a^{2} - 584687672302902914625553601704a + 354495513641579174068185156000 )x^{4} + (470951345902493569666707781696a^{2} + 500438475444249456444009725376a + 64450023271119771809425228128 )x^{3} + (-431914986109437797723080279312a^{2} + 182369035173902501889761726848a + 241289582453707703487611457088 )x^{2} + (325022521957690974205369282176a^{2} - 222403551460874190970968130976a - 319872414701573083431226832352 )x + 36218699517856147944971216112a^{2} - 378395980833136763983272042168a + 614106232965771666008075344804 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary