← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (-275343923285348828684019737956a^{2} - 606841429082918414053940474268a - 444472917799855267861549815652 )x^{46} + (-630712172382604224145779943264a^{2} + 19040506294251257297655032416a + 185144583007352095236568161272 )x^{45} + (-506881571574456148788932914072a^{2} + 413521863073621985631516152368a - 52417734914578681671407030392 )x^{44} + (70738748575330079264450043120a^{2} + 457602921149965428943548610728a + 328680680313731143406044346296 )x^{43} + (229549290670954903757794461116a^{2} + 92319877203134875711375649172a + 304624654376625353368738174420 )x^{42} + (-14411429921146476716845210832a^{2} - 514953276713002200664154460408a + 216656887916200955034594141944 )x^{41} + (255635644053065521194582590448a^{2} + 113850964283135930742180852980a - 397633767396108842451726787616 )x^{40} + (-264818291723768810491192606320a^{2} + 275052560722427099072920872272a - 204213189669300976901199744016 )x^{39} + (-481831456412797832034519744140a^{2} + 34400341770812681184296249040a + 137236398919308431891769867284 )x^{38} + (-140191995404543143672369284936a^{2} - 14107182685912507492798542408a - 298670579719702369199892982456 )x^{37} + (632686158338890430934025237972a^{2} - 222392382445660141354731866212a + 262482450561670910809126252376 )x^{36} + (408923597632032587033801582224a^{2} - 414764624954406179783694917616a - 345507450609180598885390630464 )x^{35} + (33361738547763244900965649312a^{2} + 302116765343792053268402170036a + 613834774778109494348313984360 )x^{34} + (-259526087883276920794828043760a^{2} + 249508970047269583598896320984a + 411434738193051419249936196952 )x^{33} + (224058390430668740845912657378a^{2} + 505387683604907587857597782686a - 467993522705031166267213273120 )x^{32} + (357161293253714248850697786832a^{2} - 576157763419516937464661478192a - 221014263419259878592518967456 )x^{31} + (526294186685017914206214112000a^{2} - 269705187528961561800693213480a - 95419325723808353894404825296 )x^{30} + (-379583216920729818067754495320a^{2} - 436317449920007289641167650072a - 390701253832464805043417751552 )x^{29} + (13267569582055824289238072268a^{2} - 55736479613546595099082283848a - 397155214103298633816847622900 )x^{28} + (-116614958138647447502974514032a^{2} - 246244870423225819561029341888a - 623292466846877902456427456912 )x^{27} + (496262851684145765609800357728a^{2} - 242359220152375391695734702816a + 122550640391107298297265374408 )x^{26} + (25092831248910037162964785416a^{2} + 628666223573899971481782103280a + 75554507281231049894015300616 )x^{25} + (-191960742309796379446388117936a^{2} + 591565816842773883618599088860a - 107360429716233125805796631632 )x^{24} + (-100632824846504727492959125888a^{2} + 134592733311427314229815357664a + 554516873791638328777421263232 )x^{23} + (321194140282259272643117441240a^{2} - 64646341530794681525263938352a - 308387304814231363754773474264 )x^{22} + (344285682835666313140712951648a^{2} + 183249573899261528678984250976a + 315907518013664318649375290816 )x^{21} + (-75643540802698165143684690888a^{2} + 395575425930911780366111535408a + 407994050836001247394110732992 )x^{20} + (588508282297279638997189209168a^{2} + 197295325559472559370506572528a + 352316810175968265178179239936 )x^{19} + (-374890501868884504694292473672a^{2} + 53824144191044816390340906008a + 178627615684467579380695757016 )x^{18} + (-510682299703374386123752062128a^{2} - 375346308519253787904356097136a - 405577737159272917196899956896 )x^{17} + (-265835355991832648277428784656a^{2} + 82984251344362619049388588112a - 324284509726640028024492908180 )x^{16} + (-197133310241099128369635644992a^{2} - 54258770657936700514307562144a + 390708295756284076369014036128 )x^{15} + (-165184356432393739860444809808a^{2} - 461435061395973955482172781856a + 181089330007694816399527904864 )x^{14} + (305837052381356195301002751920a^{2} + 508822535241194216707079689216a + 551819657731786982085900304656 )x^{13} + (342868197363090284159685952560a^{2} + 370071103033059091947066034968a + 272299505127307453792660396784 )x^{12} + (381948550258742137635928089568a^{2} + 327568685991288775251877593344a + 343230224147234481432969697600 )x^{11} + (485295252752501620265524372760a^{2} + 41536305132747545526802305280a - 43035305101001077749618438240 )x^{10} + (631187152408577484759053380768a^{2} - 22550648966515514446835507824a - 281486700222966410836210400112 )x^{9} + (209874683025139844690017191412a^{2} - 162905574721463157563252567708a - 93561135284501264985519489844 )x^{8} + (445929590854488973527561558560a^{2} + 479607874698546907513524638112a + 56257895109957300088316385888 )x^{7} + (-564583605035897107108382266208a^{2} + 190866840444004634820606624208a + 76773521085386526896981487632 )x^{6} + (-45951998550954212147001780064a^{2} + 475567395260935898454396315264a - 438359449332363486834937753440 )x^{5} + (-588202321154662402152779752512a^{2} - 391768092437282530802834405728a + 459334872101438767020544317208 )x^{4} + (629499217222110363043796122016a^{2} + 49640433378086429164446013728a - 159109271540238450772984855200 )x^{3} + (618952062953397465958779293280a^{2} + 541964624522217703930041480496a - 550492053138544148457863588288 )x^{2} + (432646887764581298434826348736a^{2} + 38362541194950907710476685152a + 197926432949638389308725709584 )x - 5904037434700063850929297068a^{2} + 290012428472059814129602435008a - 281998693108263673547577510288 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary