← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (484369741006437615986744505820a^{2} + 575768139511207296992946849324a + 208901983480383742448033984944 )x^{46} + (-224331617181891000394032121360a^{2} - 504373491095943335527093678272a - 287962380035962303034590053848 )x^{45} + (275671879603193251526278922296a^{2} + 600656561966911090210264674964a + 170498934939796806267047665304 )x^{44} + (-380916275414871578675682495344a^{2} + 490352298420263075715722333104a + 141361129911853063189291819840 )x^{43} + (467031724638510854598556269280a^{2} + 129728075654825778904705618572a - 301410629516680234537153828432 )x^{42} + (-543304101463902910337734762608a^{2} + 475356517385255679765534986448a - 511692254817557488804951168784 )x^{41} + (-121744967177721151287551646208a^{2} + 475820228357357608910700132460a - 62641221977300091689747284436 )x^{40} + (-373377627034403035994565182624a^{2} + 246415851502091904745796622848a - 521615379447401222855649146128 )x^{39} + (-432110988804587915289754923304a^{2} + 239841443993258416042957854760a + 475761110804166864305547936656 )x^{38} + (213931590890187320377491251936a^{2} + 187227222666687206192375074784a + 440798266312842196604394266112 )x^{37} + (-93827934144094955048005149168a^{2} + 283534380121984140590373855108a + 229496977140747886867256795800 )x^{36} + (82406107747014247331597940720a^{2} - 319927655852140763499694727744a + 7717249749557056060933219904 )x^{35} + (-446844203262494300702003128160a^{2} + 133450471398524162461936132076a - 617223951716242627814241963040 )x^{34} + (62388661813329429923977006696a^{2} + 311207771223668068379303762624a + 407847097025110180438528012400 )x^{33} + (520704290652138435968838501408a^{2} + 343263154393362241590203106806a - 156574252161282461053456642644 )x^{32} + (396242091731656536346450074544a^{2} - 368848906834521321630399837136a + 173159810648438941780724182256 )x^{31} + (550815867085695615082664979304a^{2} + 172139275328075872151307241056a + 156876085499346399034262782264 )x^{30} + (-421000412119007071540489902368a^{2} + 445924839904919597967027021752a + 628206460170514536183104015344 )x^{29} + (403149583857134909692326750908a^{2} + 353624421935268817212575349892a + 130193850343012606666323058176 )x^{28} + (-134017134445052479004005489984a^{2} - 103023244626821005405904912736a - 614977869569681619201434594928 )x^{27} + (-338726159981797620528290050712a^{2} - 470426925734959681786692247584a + 81988303971492926214517988336 )x^{26} + (-292399392582693934071003129472a^{2} + 439424072583793546760092488592a - 167369722826077834246522051824 )x^{25} + (473210495494025252465018200328a^{2} - 579369940989392051916354797452a + 228601920035595708886828575404 )x^{24} + (-296298887686118186868263812464a^{2} + 428904993974359189996862966512a - 305286329258980044015223297184 )x^{23} + (-440868632078219095835926087208a^{2} - 614121861120825908397797369272a + 201781902481116653476272968864 )x^{22} + (-303234264613895393188953468704a^{2} + 460606539120990435891502243328a + 91246607791687396720711011664 )x^{21} + (76991427679210156681864507232a^{2} - 550767115637145200646249634104a + 152190381023018426339652427640 )x^{20} + (-158731071002964546324175181920a^{2} - 425268516298171738642520022496a + 438467642464553573024146263200 )x^{19} + (-205284411606958386328977457000a^{2} + 20251084899251579635250205296a - 528569678586474554826570933720 )x^{18} + (-240918127581812413745743223408a^{2} + 198507847401063852667162306640a + 486410886571276173081820282656 )x^{17} + (451091613115090718250718085520a^{2} + 118315332917697624187417808652a + 416903725797113454955226766608 )x^{16} + (-214160795386262084504966048992a^{2} + 482599269604273064260757971168a + 345767768678603243542313037056 )x^{15} + (-492734055010631762220199474600a^{2} - 25770869769275266163780220120a + 404361081305362772066725350712 )x^{14} + (632004308993317115642744161456a^{2} - 125923529612568833473841666880a + 82753374425331228362207878736 )x^{13} + (-331652297753237875873983893184a^{2} + 269518424797375873957964199664a + 243523498054317672513924693056 )x^{12} + (-527152125300612220599744731968a^{2} - 424223663998333313346651167232a - 495081789935903014785974846784 )x^{11} + (374595478203291768187253965600a^{2} + 276684742388260169908056562360a + 402188912665017153706942747328 )x^{10} + (-460374284066624800203288020080a^{2} + 362207868677123183073225363424a - 264322570147443253633168094048 )x^{9} + (-453004592950066538905728782632a^{2} - 273582461232593319882599770580a - 441597393007408637938331433088 )x^{8} + (412454647092633021702861415168a^{2} - 170742820381640966632463063584a + 498846783224710153936394088640 )x^{7} + (541152596248634772873349539344a^{2} - 514432651558225291690632190912a - 152462059440640178935187345120 )x^{6} + (506719302676363311953928883808a^{2} + 9934248897523918973726059344a - 33340132831669497108330159984 )x^{5} + (212027841695252765637735392168a^{2} + 304519072214660940754305673224a - 588494583313357324484742904816 )x^{4} + (-288192430107629675359891065408a^{2} - 574093346187322411943756692032a - 117499817016381324513838543136 )x^{3} + (41389760509031344529939770512a^{2} - 613837037361666170374463699296a + 125827119730714313337784776384 )x^{2} + (494604008500547098871924499072a^{2} + 414677232143156957209829086304a + 139757094904270776062151492832 )x - 42450885747830399339509976400a^{2} + 554301534687086739083266053656a + 269249014002342370461618736964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary