← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (-47189955002852323406344122968a^{2} - 597150706842442594764138648272a - 55423765864041396128157991344 )x^{46} + (-198299822726215658058780806800a^{2} + 438837088196345488481001933288a + 557964973979601146305494022520 )x^{45} + (391391560652956885655028377016a^{2} + 312724062259695640754648097196a + 182674520844612932059784300340 )x^{44} + (-462245824123309433225991402752a^{2} + 61623498415155846243343357040a + 149008971568478750058247190432 )x^{43} + (362661898522427788338152312208a^{2} + 393858484108183605809415575552a - 424610471726598390997907598620 )x^{42} + (1471537119244746342571022904a^{2} + 29340511180071770547822985648a - 536438507411196298944942206136 )x^{41} + (326329258925375720851189617884a^{2} - 335697952194377978147483835852a - 189439222033832814736904643756 )x^{40} + (-465688791056346676492960801952a^{2} - 212981218856299993044467618224a - 237927850904098210726682246976 )x^{39} + (8731416789369180526065754880a^{2} + 574352723407986578568149205368a - 76309255236017750802696984 )x^{38} + (-563044123615808347498390491400a^{2} + 72686666082902102324420547480a + 216058547019813298425490320944 )x^{37} + (304839988887462832113578163648a^{2} + 116605640764297357022317480184a - 16133485364320520398215930968 )x^{36} + (-523891662875026948983082664880a^{2} - 372976990554538437738816230832a - 438400975850342610305746086432 )x^{35} + (-426003067196539149517231813568a^{2} - 351938957038425569063128361568a - 536658903122642153757094932872 )x^{34} + (534763661829812520087348364784a^{2} + 307995419710483561414438540856a + 499714602436246513691808347744 )x^{33} + (191518445936213322745155126440a^{2} + 606224763849457706296378980792a - 367709582862871832404496158528 )x^{32} + (29266838308624219443365262384a^{2} + 610247774546242980454133237808a + 76199424359756508121303953488 )x^{31} + (-512653688200747152088873020376a^{2} - 277371546259336580817644508160a + 299974326074321984063126793848 )x^{30} + (-137644962065671231956299378864a^{2} + 52952616318411226885680731216a - 507812239715807560590826484368 )x^{29} + (-232707226451874936277515404880a^{2} - 151025121008741679727182001336a + 212674012950688769431113499600 )x^{28} + (-293587887350729783225196423712a^{2} - 1013822308329076278788851328a + 284514557995537097213768248640 )x^{27} + (512436667603494559081468513856a^{2} - 45589987225197395161279519928a - 556692335284893373176608166896 )x^{26} + (-134361338696452214474479198544a^{2} + 114552715289658121883685723200a - 470018825040244069823675346272 )x^{25} + (-399062991357258460000842515492a^{2} + 317449990078434728320187977980a - 250127104319955417434445653036 )x^{24} + (-309544620530491683987048615040a^{2} - 524180745740639953280433057056a - 93847547915696976449116780992 )x^{23} + (29390691500701155102498796720a^{2} + 112696019821479435689227387664a - 216933257922667402756830816896 )x^{22} + (-296444659698595798350827026976a^{2} + 600735328235726733339460231872a - 303533714834592872381164561968 )x^{21} + (361363284295496199917258419448a^{2} + 72633928922550909159906952592a - 564852373430968523561507616648 )x^{20} + (-16288935839288633181994224896a^{2} + 374160660289382859065856175968a + 552298234085972043284659879200 )x^{19} + (-143457764226978017592934513648a^{2} - 222972102102740042325330077192a - 444558370115249936386493736344 )x^{18} + (-464129119402834512673481095728a^{2} + 550799014437436207854164928704a + 192476699345191303729691682944 )x^{17} + (392592802961562650051309776016a^{2} - 57945572562549580486337240968a + 160573807273346466666204842272 )x^{16} + (367259309412574438308827804064a^{2} + 574806804020885473254104183680a - 4986970390621936781160150944 )x^{15} + (-377813753194365696023667507760a^{2} - 86452268543752680922429379168a + 101689435406828077821378311440 )x^{14} + (585719295597381576131168173664a^{2} + 403398693938194275624545156480a - 284867456537280890684750608912 )x^{13} + (-271231936887546508776587572400a^{2} + 421941049082687516028886288304a + 199314560463309654848735156912 )x^{12} + (325146814534724108925563076480a^{2} - 388220711937403435559564660096a - 392102588648349392438201249120 )x^{11} + (218883113971667878862226999808a^{2} + 429995370903483338906416464112a - 317027529997789788315068501136 )x^{10} + (65729370040159156280895016560a^{2} - 539162871853849639972707821456a - 183006015863786561599468535040 )x^{9} + (-189638527068541222742110742144a^{2} - 225251441265455823820369568640a - 133823979752592034362774032464 )x^{8} + (398111237204619281197669779584a^{2} - 556671600740916399887625943136a - 214817119634135676022458396672 )x^{7} + (87021223674595920188901917504a^{2} - 223322316991517725175129071856a + 99965144952413615342376126560 )x^{6} + (-339081205592668872378614019968a^{2} + 222543209065555090249855370336a - 517179398441236060738882558848 )x^{5} + (-477054532922472645109117177936a^{2} - 620366944344036238221283128496a - 216148598615194482684862195232 )x^{4} + (376844591335226877782408138816a^{2} + 46670326486969507673160426496a + 199722225990413183777346887616 )x^{3} + (433171846420876881150942917552a^{2} + 330947466374767660829310768944a + 511127084555927565301212398944 )x^{2} + (-612607330127362548566297696032a^{2} - 239015265799250865056512894496a + 132136500470752009128361732576 )x + 18650352364254394406405888060a^{2} + 533416243200789777833202252976a - 502952082105208458356217874548 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary