← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (-580087183486784399588985599304a^{2} - 572418153377941260653055305648a + 389646229554761239091601327344 )x^{46} + (285805886290013458764629205792a^{2} + 379302752487046751405575831720a + 444095388768449352942826611096 )x^{45} + (8705674216399494516861865136a^{2} - 176803656108376232346014049644a + 22614481014953611955005612324 )x^{44} + (-586938173423560461646941859408a^{2} - 613971822230516681053164273408a - 32299742443676617380373166224 )x^{43} + (360517239660056558506900461840a^{2} + 578332095178890423202301541456a + 546714753662685628526874074620 )x^{42} + (-377909734814810367232090821656a^{2} + 427434049968573271524144020688a + 565830994529283870444075195400 )x^{41} + (330180810309110791969342252140a^{2} + 171826597796540533380732615436a + 552694439202037813415099883156 )x^{40} + (155803119119689730565550524384a^{2} + 550682081999704181446321438800a + 161751258276403959629860809472 )x^{39} + (-467602852411156063661974987904a^{2} - 599312340498808527921620900616a - 229325799323517198702471728376 )x^{38} + (253911414941902733017620112264a^{2} - 375777173577416525633035596152a + 426474844492370682934426198176 )x^{37} + (37549884063232314163810963784a^{2} + 202612995880602000299943829608a + 470002946132959410121051327144 )x^{36} + (-150181405960397091666541870256a^{2} + 223778468608559724226590430256a + 472857552668245611096856469280 )x^{35} + (295224063413693182927510239968a^{2} - 586465768883828885635595090976a - 483977101478529278209496225624 )x^{34} + (323059438653611729320050528128a^{2} - 439241133815187796844800893880a - 130729368220141683688484770624 )x^{33} + (-17013497871920179325733433592a^{2} - 555516372316264020685551471336a + 27737801017646264032031426408 )x^{32} + (-92621195479254071645303539344a^{2} + 555256553420451327754938674608a - 318124526858880877170361485680 )x^{31} + (187245195151226761581104778328a^{2} + 38973590294647952450044201744a - 244062791433866483852557773960 )x^{30} + (428159851161608526314686788528a^{2} - 400064403916245050354952331184a + 147814746059492174668849760144 )x^{29} + (-570317669268102264957609462080a^{2} + 16547891314582769124960917336a + 224255491453327048058893444144 )x^{28} + (-552637951863505909310427010784a^{2} + 308096628213529135057311741152a + 60419621731663974989049694688 )x^{27} + (-369741648175225444968086477168a^{2} + 86357142058447773445725570120a + 375727449351835783079411281104 )x^{26} + (-514736959570736353396263635840a^{2} + 95605000960226609619316935456a + 170272171016345613250529409456 )x^{25} + (13093864695772176536480793612a^{2} + 622157894059353107135755733716a - 277369868220971531170072418612 )x^{24} + (488783777154302434834481816512a^{2} + 332413215759097308518172826656a + 428878753819507643465362569664 )x^{23} + (-607713116429000492056131976368a^{2} + 484926596388159935180103851568a + 361811327721833734080500487232 )x^{22} + (-69919598553537964386807388928a^{2} - 241414442506745068692430677824a + 74555248364379347158970467056 )x^{21} + (-126180085100745457065314281288a^{2} - 548737735059056476794502668208a + 252638552052278813525221376120 )x^{20} + (-525236186265455558424777272960a^{2} + 361009090706104487288539390400a + 28323551957602882729681888608 )x^{19} + (236492046037938472859380073248a^{2} - 146360745196548777753845479224a + 292299737165582930071949779560 )x^{18} + (160628575970672630941404728240a^{2} + 339542629564016374060011935616a - 69339522360396477589472344896 )x^{17} + (46368271026388818943726683440a^{2} - 435207964533596626223490190872a + 479839287953596601883728678176 )x^{16} + (-385589586573950470013983197536a^{2} - 318569521801050163942285403392a + 369185264579563193288379357920 )x^{15} + (-541105385475699202806950718512a^{2} - 51401874106072297495770233216a + 507902963488171382428317577808 )x^{14} + (-576630043712549202908914743392a^{2} - 337950310821922627941808796416a + 361507269956360930164783984432 )x^{13} + (205856848535946960601015462544a^{2} + 591860487081227833121203797904a + 27620727990865736419282430768 )x^{12} + (183711353582796590722244851520a^{2} + 320031130260941614701935579008a - 374244403078525007510228191200 )x^{11} + (-128034920490624031346698246976a^{2} + 466821074474922169939521190128a - 522686892653978429168964503600 )x^{10} + (36896516279651131391362551728a^{2} + 183554170070372481607714637552a - 452000678273031052028299970944 )x^{9} + (-17086383998416309030254189280a^{2} + 236763413618854151941525400432a + 362303814980026462772193546400 )x^{8} + (75708588801641285016365157568a^{2} - 574682520252892357764443558624a + 312459417941414788698136099456 )x^{7} + (278562547263983493913448964000a^{2} - 305732958190494813090567726960a + 388578916068820147090098700608 )x^{6} + (101049146230992171371392047168a^{2} - 424857823614437646131049327456a - 411407027673634768412125935616 )x^{5} + (80333707448129733615070812400a^{2} + 361217062613680863429422289808a - 243872476323523311296438260384 )x^{4} + (544688838454155914190283590720a^{2} + 627807432909032028726218545024a - 70845314361275216858691915200 )x^{3} + (-841389396829393212118006160a^{2} + 450913417485878326112494444848a - 472042685266032195883684568096 )x^{2} + (-2525717238079110039837042560a^{2} + 593536659950333265408629106528a - 250465943158276063802924553248 )x - 258457844105526248011687170340a^{2} + 471334163838408881230756754720a + 591876364121169924946116773388 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary