← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (110090399563252095773450309848a^{2} + 506381130592758058604932642656a - 348865677041892877492335803632 )x^{46} + (-534374723374765526043959178752a^{2} + 524667526026910489095940945880a + 101693246744315630227816857560 )x^{45} + (11945989079161829744753008752a^{2} - 502884700997471517219332270900a + 196154530142336370738477717740 )x^{44} + (-102697570088604384573400615440a^{2} + 564110765213139273041160376960a + 632044629874410181564603470240 )x^{43} + (100269377646046606821512724192a^{2} - 487044757525482020736279164128a + 328217471606785116884630376748 )x^{42} + (239979004540956039655400377944a^{2} + 81355347866432520505513755184a - 209610975046329534428349320296 )x^{41} + (11472245063843799730187669628a^{2} - 322351728997985791885862216108a - 239305986393610924865003255044 )x^{40} + (191606544611084620593533680288a^{2} + 531876951748082236405871453808a - 40326102165779389362609127424 )x^{39} + (-461676209773824897596344112480a^{2} - 351016702058854100091616327496a + 265171474007575144862312700872 )x^{38} + (18857834049512221375697041256a^{2} + 429697439858352735299623607288a - 560581534650875161927862083968 )x^{37} + (162211737557720615585025719008a^{2} + 208149798801208709712253064936a - 537028946980983225932171014896 )x^{36} + (-319457416763200166123670310352a^{2} - 503942166764957427559077304304a + 271864296705712378023920106240 )x^{35} + (532413980719376503394303783504a^{2} - 182105534744296284145342200800a - 148968081203683015938125157720 )x^{34} + (-418648726665982795075478047664a^{2} - 377999646050718009639248781096a - 207142133744840563785283503856 )x^{33} + (-551056214945819113985414952792a^{2} - 183739811594104931003775361416a - 583425415627457190610745841576 )x^{32} + (-436129356631549262917438258704a^{2} + 547874742559507376014253775728a + 472419140992279616596273653456 )x^{31} + (-597509088719212819596659582056a^{2} - 116211666848915916377889224736a - 184482745451863184176665957592 )x^{30} + (446860719316163395984877741072a^{2} + 631337646511209761245816917744a + 48166948435769393896588579440 )x^{29} + (547509615448887740464625155200a^{2} - 373493729405826089529262838264a + 218463152104115771189002181472 )x^{28} + (-72482809552393425089979007520a^{2} - 163344596155980113454697536544a - 74576421885631747596287486912 )x^{27} + (466652061613890898811195928032a^{2} - 75578358179299637257910174632a + 468585245719667650462327411072 )x^{26} + (116299401783735777370881808912a^{2} + 622793151888441733463521892912a + 367727193134486937247276989712 )x^{25} + (-558249494900411989506177149292a^{2} + 94280289861299373036114343180a + 557359907334221173335104733932 )x^{24} + (-537627258139746512995781147648a^{2} - 141871039400758797275703059232a - 479853155274706514386554662144 )x^{23} + (530139593102018014884674739600a^{2} - 428925195226446782574934508656a + 170304195075354474799394650016 )x^{22} + (-6867007463653732338837699680a^{2} + 122992798575712785992381875104a - 16114175279520295158180384560 )x^{21} + (-462220993693955676318369905944a^{2} - 168332448285651990040640169472a - 560084050375595924145948046088 )x^{20} + (-196459174335908417152673043072a^{2} + 174126742450333549289534234400a - 3685911891817600299122372864 )x^{19} + (-168717379020518500017290280512a^{2} - 281191747842683658329083496264a + 71674854954924126597906235992 )x^{18} + (-525811167761370875304361065936a^{2} - 584264739481584308016379312128a + 217330098139196364828225598176 )x^{17} + (219991256555523603415329491568a^{2} + 308083183367292347829114421208a + 280024754738052167575745221888 )x^{16} + (-568321737600510051871041674976a^{2} - 181080343050303174495545976448a - 334219375201493268650308133536 )x^{15} + (92694006630523308692179394448a^{2} - 569772007434102885848241088256a - 490078537762538422297723230480 )x^{14} + (64820098998128092906687149984a^{2} - 20169944615474938087384505088a + 563746534002114783849223971056 )x^{13} + (432570910654701768122972190304a^{2} + 147735785811954644795367023408a - 29875875779205286550188235264 )x^{12} + (5343870188877971464698417664a^{2} - 140906953151182221935535240576a + 87901744208925177446359060000 )x^{11} + (54844488118816179055986913376a^{2} - 93325866049532922026773596272a + 386995337953950217904658307696 )x^{10} + (-454472386703674818983725618800a^{2} + 206328720630226593614724252912a + 466330943276040784704938010944 )x^{9} + (559344064567285727224668632928a^{2} - 456101096501376297648294061488a + 306646881015340164810662096320 )x^{8} + (-556688559464015756790935349120a^{2} - 537537531605561932424994203680a + 301742352536020771829492872000 )x^{7} + (450840984287830768125821405088a^{2} + 188897638500785166461187880240a + 839152981737755069599980640 )x^{6} + (-162761030925916634544471542080a^{2} - 550889530633668804937808815584a - 469081382380435149499725912128 )x^{5} + (475615603909195382711554479472a^{2} - 605792863486723991476834222544a - 396737122861350510885259906272 )x^{4} + (24176979859377355895018533056a^{2} - 460261493909999114878285810560a + 146559740703157997817353226112 )x^{3} + (-596618512919756719912070092240a^{2} - 693422338955361019167104400a - 344665676502856499212587015136 )x^{2} + (177797055179246640205765502656a^{2} + 571869196202782010904942142880a + 220780427801325988467054836352 )x - 311814529398298423241365666452a^{2} - 615486022398061179191964667744a - 440295520339475709315134047220 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary