← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (-438372082117368932817478337432a^{2} + 547799266971195024870427575328a - 134266086489294537266993978544 )x^{46} + (-537910162884460464392217748112a^{2} - 570596791036844485205248875656a + 10018240723081294235608432088 )x^{45} + (-201778505828595413378796267208a^{2} - 257929217137783398795120979420a + 55356678338737668917298933900 )x^{44} + (78804762425851748258069690880a^{2} - 474831334665741867900959353104a - 457065577217467966771722548592 )x^{43} + (-474784699496920904071456157760a^{2} - 78651232338816978707591915248a - 328861116338400458565965814236 )x^{42} + (317932073981274143936980628840a^{2} + 236178452770749618890882104336a + 367672057996220292443175283480 )x^{41} + (-193963315841200192572417366468a^{2} - 562689072386218402285725230804a - 270314676914490498418290545188 )x^{40} + (390767140821661292533688295584a^{2} - 69317370770978312194488739472a + 228715138865161634747759660416 )x^{39} + (448465964560276560895702167136a^{2} + 274143160345859517305890554520a - 61239321142219707675634755128 )x^{38} + (-150210867350219441325695036200a^{2} - 291131099064178117440310341464a - 151254218156653670621985422352 )x^{37} + (-137098944603168220815955053752a^{2} + 202615376168528868238213529992a - 292398685330266630375789594320 )x^{36} + (315499859293713897624519321456a^{2} + 461343630143634498266776444464a - 151485193691179319751913529920 )x^{35} + (17998240760877467095002326736a^{2} - 381367955093438507595919588032a - 515394566014012553181308141096 )x^{34} + (376500574165967907641671341568a^{2} - 29808736473640434520054103832a - 381253163305636805122200086928 )x^{33} + (88975727809377303428137466888a^{2} + 94166042507225246845061735800a - 543077934611107973467920736624 )x^{32} + (-361150036363725885197510587984a^{2} - 441700051756830874388094635664a + 254808972111078595220409254928 )x^{31} + (-102653353513275266496520274968a^{2} + 537709885242608577196829232592a + 587887910900660989312928552712 )x^{30} + (-431806760799410078920529255824a^{2} + 183052055259281825780239990768a - 630871048810489836929441403568 )x^{29} + (506924040479036958008229571248a^{2} - 456340534743945568758245619336a - 481123542277896094838937333792 )x^{28} + (466131894593523289359655581984a^{2} + 537508542103078418485145655168a - 93356263577177193248370508576 )x^{27} + (-171355263946958730529415085872a^{2} - 44041841476616382844382817896a + 343969339979324082781969777888 )x^{26} + (-503439706589319830256613078432a^{2} + 205894791268730142246490077424a + 568836713420055078909752203744 )x^{25} + (449298497235510098893687235316a^{2} + 424022734960239814799983644580a - 532334102421725631212264046460 )x^{24} + (-521385807204255274790879705152a^{2} - 215355402695944774371112659168a - 86182022804850822816304049408 )x^{23} + (-482991382456315738825772789840a^{2} + 235773032260342467985646234992a - 579966299354085085829564020704 )x^{22} + (172791686885170029072953085696a^{2} - 303088172087018740990840589024a - 6959515446672591482390918864 )x^{21} + (-565462302495827092086619042712a^{2} - 187492178094642424424760034784a - 160911453678293305135982237704 )x^{20} + (457047935245918498791994052480a^{2} - 410595053586045567240130109760a + 56832227416942129139139260800 )x^{19} + (-208200840075037841951641409872a^{2} + 131346725172480012070530381320a - 159442041705093587530010511144 )x^{18} + (33276199811106369306193074192a^{2} + 340932928094841019948317124032a + 16710472059734522700408440800 )x^{17} + (614077547982341666130007345584a^{2} - 608155681713319435878369259960a + 446264788395838873350211399168 )x^{16} + (334391989028922603629365874720a^{2} + 606857634381487141571126839552a + 71122899829498083807734039264 )x^{15} + (-262674169563236266404758333488a^{2} + 152480965518801774309507512416a + 396461137499156401908607624624 )x^{14} + (-124030831616472202974852589088a^{2} + 551868520929425667422018829696a - 357726348669616565053622564944 )x^{13} + (-251640856347342170467194313088a^{2} - 539666563579676052399704186800a - 376796870715299341700789429376 )x^{12} + (308363715464479978585877947328a^{2} - 278583141416851549437315371008a - 441211496203947185193625755744 )x^{11} + (77466397539729739531449277792a^{2} - 282981399462111649526364873520a + 20413852040609190431821060688 )x^{10} + (-610863748806820310081867782000a^{2} + 367188411100541801586933828976a + 169757378632043105916612383360 )x^{9} + (2113335054181901742200173568a^{2} - 182309429886080997317882362656a + 551392835726460474124833783664 )x^{8} + (-76890281733073356547941760320a^{2} + 395234355315340234752754690656a - 268181745590273958129030845248 )x^{7} + (-98683774231875800730905695168a^{2} + 170510104714693742863976014704a + 32010709913326978972945891520 )x^{6} + (498520400450405450262022957184a^{2} - 434784838655940118267902989856a - 451553090884672952611960047424 )x^{5} + (-385599361444434278796099657296a^{2} + 160985377204949811475259084592a + 192010222009380765477964751712 )x^{4} + (58185699914455830175521953600a^{2} - 215789363362159940599454718464a + 536728544292958593953526820480 )x^{3} + (556135299686089434569621198576a^{2} + 398524475882377075680266128624a - 601298559986256581081289264480 )x^{2} + (483042597523391581918901241824a^{2} + 383501752022740737234976876576a + 334504983723248821329442217024 )x - 456465462886579597867700213876a^{2} - 391945946382111143105809978064a + 132438698927341658403277529676 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary