← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (360669480700608988837010261144a^{2} - 578394342231265136633274224604a + 2148540492337090531397168408 )x^{46} + (-443839052348113359166531708672a^{2} + 59930915501377879478632177728a - 103345590461569535146724646712 )x^{45} + (-294472078191372341858161745224a^{2} - 46543320858371968009402070128a + 575827761185527953141649498196 )x^{44} + (125742547664999226586725180160a^{2} - 525825815552088530033275471984a - 519879270315624363989049552944 )x^{43} + (-286027803726306722256249314788a^{2} - 21000285427059966549031019660a + 475813755816224117035692666684 )x^{42} + (-462700590592264175085502787920a^{2} + 254524698200791117920227213592a + 131529434731180493795581735360 )x^{41} + (540395750215298711442980548428a^{2} + 15972473416706706664460098572a - 157935777987941388193288851360 )x^{40} + (-267015823400357152922270441168a^{2} + 69421925431907879936215110320a + 578120653726997283325178711632 )x^{39} + (-236790351140615812158731077616a^{2} + 14988317990545469198850020088a + 428081898601025877795015600192 )x^{38} + (-484447147535130319262474027824a^{2} + 494360637315682982890080285856a - 209606013890172389663901134864 )x^{37} + (78966096580026637503134497108a^{2} - 189098741635085721550524466692a - 617323357640988462854229383120 )x^{36} + (555725731917582949310460048896a^{2} - 33820142240541574544528583760a - 41440673181974376545932279136 )x^{35} + (83967090866458424399799753872a^{2} - 203993593578016909563436784160a - 520966856538069861682695922928 )x^{34} + (-142191922420538897539199313960a^{2} + 332605678120234664647964268664a + 216409425656104834535115702288 )x^{33} + (332185339490018775861789021672a^{2} + 466171821992398858052557205664a + 388763689922268853726278049688 )x^{32} + (253619324549413494192068645168a^{2} - 126850154738948734086064912032a + 568980855661070339243275167040 )x^{31} + (6734397851961284294356502328a^{2} - 334633665368142515434259043680a + 378846961333262915411149187616 )x^{30} + (-156566241699481301532759363384a^{2} - 59712548755040985718618852272a + 342812988718911141316436967472 )x^{29} + (405301020999177215976852476240a^{2} - 552339378708560847577925395544a - 330843554953409193824304879024 )x^{28} + (-391049972447425335217973972768a^{2} - 17446961873658103956085681840a - 137608881348197883684936012080 )x^{27} + (-154130516506117493132234148720a^{2} - 290476865396527408738828436784a + 293150222012030129023633617176 )x^{26} + (-526998575123261637690948614832a^{2} + 203731360135087785213048227552a - 156571276366305332830396636368 )x^{25} + (-353840735711455159762406824560a^{2} - 606429605274137736460930601512a + 412524692199109320001033967464 )x^{24} + (444138529747035582822643493488a^{2} - 542928073410030312885062377072a - 541953101339396027563554314432 )x^{23} + (436430358394978995482027882640a^{2} - 282472941127663896632598359976a + 107748161973619840898690181584 )x^{22} + (98161576281515614169092841488a^{2} - 325406128890244783365503721328a + 114754212399353044549083018896 )x^{21} + (-398513765447193971251221978720a^{2} - 258785016282858718512545251808a + 598929835147377117997430455624 )x^{20} + (-432665111955263694471937772704a^{2} - 261002489166860728836539917312a + 356152249522115550332571816512 )x^{19} + (-234065125717729752029433011864a^{2} - 513748913107145851615781434840a + 455698739888640895552486943448 )x^{18} + (307322564113188553838144056992a^{2} + 309272575802957185162249263248a - 493366130920268944331443102944 )x^{17} + (-43283196142716138922446552680a^{2} - 184036761989419573475668709368a + 207029452294388674833100685248 )x^{16} + (-307157893097546163889599535168a^{2} + 566943524676095186968671054240a - 142548953348115576948130277120 )x^{15} + (-439742529509019344046477154208a^{2} + 227408880992467883192244143568a - 111768686014796641238833253824 )x^{14} + (-398970051298333417981730279136a^{2} - 581579633083930423079995348064a + 603000653371308312324774655328 )x^{13} + (-268907824820990690171507069624a^{2} + 112414599266816336760756528040a + 209179560347194650004965416176 )x^{12} + (-605478014919560209136369987584a^{2} - 392420274124919171882265263392a + 412629846621154002595529481952 )x^{11} + (-382442949265916362791721478400a^{2} + 374847372617305972104155121376a - 138589015110306309409053994752 )x^{10} + (586552778057991106570693266032a^{2} + 204137448518600161136231537168a - 329917121935512641586013224800 )x^{9} + (555742744275351875490634119216a^{2} + 375381587541590606824005510848a - 159598224677988871683774257680 )x^{8} + (-569571679076735262448920791392a^{2} - 34219537508349441989913114880a + 169694810957862757261813299008 )x^{7} + (16466120158760510750751806880a^{2} - 193778894893266513980376743472a - 519018288497170558861284244688 )x^{6} + (-138705571016979450496057535728a^{2} - 229403776615717984397535891904a + 493747665676816707958819883200 )x^{5} + (-390001821351781040783257608704a^{2} + 33720283401114043960043988240a - 295518691934248399465291001728 )x^{4} + (187586849464178207740078552320a^{2} - 120857746633189959167935900448a - 512145507259043934269895936096 )x^{3} + (-432677189122074858831067960256a^{2} - 432922245422160838608919089536a + 140531323467720927295817057648 )x^{2} + (464676543933078709423682353760a^{2} + 610535529742769091290937715968a - 475062388148960638549666270880 )x + 348630660326879172514274004784a^{2} + 476894693178878553778172817760a - 534079782698104390401939835268 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary