← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (-227315377360795792078258039096a^{2} - 356110919609117372458796342012a + 224191180877821837527219702504 )x^{46} + (-469483577351852208304640144624a^{2} - 116077367564825989998615299712a - 300961740686098013092370954440 )x^{45} + (472563117109433630408532997280a^{2} + 534073517619885105283956035016a - 102218978480706869717419912068 )x^{44} + (-246312900240070241514049406528a^{2} + 87027742334151580265392134352a + 87166720394575626647769174944 )x^{43} + (576434931306559781641934501188a^{2} + 454130236282193120458886149204a - 496522678633665212553247475140 )x^{42} + (17861263066910650603504959320a^{2} + 195062950534543975736975160168a - 184235294862596813307774165224 )x^{41} + (475788663818227271145025784348a^{2} - 375020402948079720088360610356a - 319532359171221453808467913032 )x^{40} + (-39596858266554990004560316880a^{2} + 319366643851259171249199017136a - 296363658066872649902422816336 )x^{39} + (-423607262357409615928394265024a^{2} + 12664476897361100450852420040a + 293056866543999727200782193312 )x^{38} + (289548787021405453513032990608a^{2} - 185867734164459216969527039520a + 262202445664082978693584986448 )x^{37} + (-473385698403286667905013788108a^{2} - 146718319808889741568474962884a - 176866991422998075555107677136 )x^{36} + (47036347782978025893835424592a^{2} + 564660158657291646767251683088a - 244688371422495150213201132928 )x^{35} + (547409833872642270988318675720a^{2} + 78897502558510708233313261368a - 404553339216542017632266567128 )x^{34} + (21452702687395308780037258504a^{2} + 177556141971256595685014881096a + 72234659267689632178402679856 )x^{33} + (411156166814800765628280237912a^{2} + 78020161014634341802782083016a + 474025210677457217164332647032 )x^{32} + (227311661221859736815288259504a^{2} - 525803239247285095116912447520a - 611004589898931437219244910976 )x^{31} + (-449075320030751135440468192712a^{2} - 365707495062943037572735895840a - 198847038923336695797299920624 )x^{30} + (228237436848160510413701283848a^{2} + 335554249026799073074002390608a + 19660979332208426087583441168 )x^{29} + (547579609114565925838722648416a^{2} + 184364137943270736951696542088a - 286322031142120878949696113248 )x^{28} + (-165052486672176568916150902944a^{2} + 429871601197157357093167314352a - 99792404739216330756083749520 )x^{27} + (-16116169201548755803421284640a^{2} + 630910424550657986698210874560a - 624501859836003099190197277208 )x^{26} + (-33508048481369707482569141712a^{2} - 220343563544596323319737827104a + 566049644107692180936331826864 )x^{25} + (1713369873058238646420535232a^{2} - 121182694065603568144506961176a - 502763918440698134849669708368 )x^{24} + (417200260870819766581684068432a^{2} + 440632219417912049459873671088a + 402307756786521075919518419424 )x^{23} + (-262865882478997646274138194240a^{2} - 283385952006961845534407464136a + 274221838109742966457416760112 )x^{22} + (338948974983575878954787934704a^{2} - 548779247493388133550923473520a + 353425945299860563143356238576 )x^{21} + (-209179097420270265294286894096a^{2} + 496247199421207531704283965792a + 41867125036586376708008626712 )x^{20} + (146187825876862249042434674336a^{2} + 270337013287261111898403468416a + 520343806437989799603675436832 )x^{19} + (269398965390661875259182874168a^{2} + 267304321875239421867299717352a + 145945797087713599788866734024 )x^{18} + (-295509753367410232560401091632a^{2} - 129292667763114998248293888592a + 197126885333617642789727406320 )x^{17} + (303720276727799716862652271272a^{2} + 233383371209323174868175462264a - 343537280575183774254019166304 )x^{16} + (-586035794662118446144610891584a^{2} - 622668142012085201625813147744a - 141917261176575453307988068672 )x^{15} + (283824159769636547502112735488a^{2} + 245723648296259893480712114000a - 64271090469086434800676480768 )x^{14} + (282884191809475418320455263392a^{2} + 390787640549583346720351341472a + 93527687365056507813208494368 )x^{13} + (-537361276009607133237770374232a^{2} + 163172418906045044176304515240a + 14921637220301074364382871344 )x^{12} + (107268086927116154876862511840a^{2} - 282184361529084587421251173088a - 609586491269651435240167810912 )x^{11} + (-250561087166446423069360602544a^{2} - 326121927226289777414077432528a - 598595039078317899900928482928 )x^{10} + (629095150136866651871090235632a^{2} + 345705429695480864396955904624a - 565420427956643967541868689984 )x^{9} + (223491789536523740918509434832a^{2} - 70187282799826095794087198352a - 183852013935799655348784141488 )x^{8} + (-14957085414261713981133727456a^{2} + 614017489546278211119655149888a - 97259653672865018985367238656 )x^{7} + (-128606387575488360673800378752a^{2} + 614676364808149620384932847984a - 146472883259587380363762221328 )x^{6} + (-575430668357905077540775163440a^{2} - 79150614889953417997971023136a + 276733969851987017636732763424 )x^{5} + (-193332091943510900904205485728a^{2} - 94072478963292702485903150192a + 34522108027534764558486460192 )x^{4} + (85171089607415910659621439616a^{2} + 453161114959809198005787294624a + 61002322167967540806687545184 )x^{3} + (-592403032598909753673644987168a^{2} - 85850684524385214600082847552a - 518822582201191819987640626160 )x^{2} + (156432057358157841714104811104a^{2} - 72572312702319391865464594752a - 346355441343175889713087901216 )x + 71595217015314750603291754240a^{2} - 200831772232932573230188039728a - 125534062135370088434542715636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary