← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (115891207404759727359632277848a^{2} + 169645954081311970244916611892a - 472758889153508700912200828008 )x^{46} + (230232163697099717308329589568a^{2} - 13260470140399063540610011568a - 85298248183121457827644952728 )x^{45} + (498927511818203116561878476416a^{2} - 580165430635241794484756060392a + 212878545538110096050703808988 )x^{44} + (360570837104789872470271542992a^{2} - 567310700433447251187876714096a + 472273276303453088089386551808 )x^{43} + (-441661852074717418804679513820a^{2} + 295235759505788794236379995788a - 616856321309280425023385846588 )x^{42} + (214295247749073856809991843472a^{2} + 480970708423082262392395188944a - 609610293565168437301418546296 )x^{41} + (211288766698665776806888472588a^{2} - 170226105340621133283073448260a + 57690331003647839801787191128 )x^{40} + (250284218582253447233553249328a^{2} + 218109116678766687820103729904a + 570016815691648440739467859888 )x^{39} + (-361521404906629398866234347520a^{2} + 442684812826342996671482206920a - 201559257388811664388497427920 )x^{38} + (-462576085982471941756908332016a^{2} + 391590576174328173680440031072a - 310633375137057075199857995088 )x^{37} + (445138543470416991916948620412a^{2} - 26615972338514852522407305476a - 626040745206855102521928432736 )x^{36} + (-494026560049008946197385944448a^{2} - 277714271865282047458470898592a + 522306164904826711595403907200 )x^{35} + (161644245279513762078684106776a^{2} + 132758361435731215830066364528a - 599761626369470117884764228144 )x^{34} + (222613226527676685366115171448a^{2} + 346049649670252113424135028584a - 74898763134204701328870966320 )x^{33} + (335930813244112616569610068432a^{2} - 472095123495414605959189782000a - 575304909235052984673046857272 )x^{32} + (438652248054434879628553236784a^{2} - 140249098954067000198865707808a + 570457056126006319850910825856 )x^{31} + (-546925422262110009257428002840a^{2} - 513820419660138781249277923520a - 166609664410952562245173149952 )x^{30} + (438428036189493984786943965000a^{2} + 404119143748577293190707953648a - 625049785581059772072293513904 )x^{29} + (217883845512539412148288232592a^{2} + 402181590263514174757927526088a + 262913290153949561623050776592 )x^{28} + (360570357110943793501924650528a^{2} + 31718885912409769851232731696a + 103004042390441127137224954128 )x^{27} + (562951533447445493905664162160a^{2} + 213736510751653002909318113200a - 271426042423731853429694875176 )x^{26} + (447483405459930730022294254128a^{2} + 503599854113442020993394568128a + 317694879184520056842425091088 )x^{25} + (405151333007327968998707365352a^{2} - 282995630850938156814928709584a + 397025019472892911216632814176 )x^{24} + (46678437500966457975436804048a^{2} + 557800877795117034989092232784a + 134320858382196645022324160864 )x^{23} + (-91825068689705140488245273808a^{2} + 62646796364536289085887197256a - 629985069217987824131504297472 )x^{22} + (520855037526736662584142849744a^{2} + 511632109391214027661284053072a + 238353720118267676513627561712 )x^{21} + (51590132620057695502344962496a^{2} - 274491334617295091502642363632a - 356066190567716857277101948840 )x^{20} + (-24521390110533220896885504a^{2} - 471077417725310275438545359680a - 74874383432000021315022529056 )x^{19} + (117479734237739690508915941480a^{2} + 340908727987287550041635809880a + 373053443152676269201681898440 )x^{18} + (-355932033140674428563021896704a^{2} - 175737248735664133320664742816a + 310461428559299869460248149136 )x^{17} + (287134212291970402793992946696a^{2} + 413551827884691411741832981032a - 573934420861458648031345854144 )x^{16} + (355129761964265300327484846592a^{2} - 551660151670848707929655462176a + 477705944299871604880867502720 )x^{15} + (96579323587176225585899447232a^{2} + 296337836159276157508304043952a + 49107840640459449558452145408 )x^{14} + (105028937991502982335185394528a^{2} + 590443190239593118472494766368a + 12922096664103031797207150752 )x^{13} + (-70015310799839677021047023912a^{2} + 181972433119888726210444754136a - 391382282966475508772454083424 )x^{12} + (-348066207670248925913065021184a^{2} - 284683999792256557378795532480a + 69333900529465109577081354016 )x^{11} + (63531465325764246829944580848a^{2} + 102060143754984056170444511616a + 263868059359675545499857601760 )x^{10} + (554607704584306772781212087600a^{2} + 155017362349397475974919439184a - 574838086084488812512084576992 )x^{9} + (-265535586155313232407439316768a^{2} + 264675862162921581608246140864a - 186593571066519078025549754768 )x^{8} + (-233407619004765212604262349472a^{2} - 340219779813251362595156192064a + 617771285096553765124448431424 )x^{7} + (241543457885730220680678150528a^{2} - 211395360699192954490474600848a + 52328955277371249297552486736 )x^{6} + (251906141536564292327205994992a^{2} + 290030131063430032446369652576a + 189351042462816181792943694464 )x^{5} + (-230430837916825213840656864640a^{2} - 493753100967255008931804329776a - 248605725708147267627924731424 )x^{4} + (490219551905678867109468538816a^{2} - 439396691983169123026498160096a - 238748513985164917044404205152 )x^{3} + (429271089443390968757889230432a^{2} + 84621809486634505871675646720a - 438059668292285606814786943632 )x^{2} + (13572376249406236050255319136a^{2} - 82969809560468650047343001344a + 361071715810355675848426278048 )x + 391670534185116339604964135616a^{2} - 351272064163611590784982850496a - 546038573064372352967935851380 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary