← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (-160489243032374085185094580728a^{2} - 107529022697780186085609259628a - 6594125374283403218449870648 )x^{46} + (580182325239241358646145777552a^{2} - 78253584295401498396929937904a - 309311085680550674141032947592 )x^{45} + (430861505050971364700090119032a^{2} - 596083391550398092820232792688a + 515183247950839827382636524484 )x^{44} + (332863190162489302176488247056a^{2} - 358458163683126715290993007024a + 480001986439268942015451711920 )x^{43} + (-318407095351225518803524904644a^{2} - 23458629813240357138868129636a + 446667993710878397638934463988 )x^{42} + (-292184891922391401205445952808a^{2} + 438855867652451934531395531504a - 511000590897692203972400473536 )x^{41} + (140924043194933393557010619660a^{2} - 345395807261316150278192377444a - 103089329754534749859668076608 )x^{40} + (94965809711177419154331126896a^{2} + 286735461616108673250883345776a - 233829463627492589991793233328 )x^{39} + (179743680384947843947267172240a^{2} + 39262813324941858340115164024a + 380565005950067461105666889520 )x^{38} + (-413908078561057991391599815664a^{2} + 74137288475823550762727700896a - 586088870026444601389090953584 )x^{37} + (148353744843902306110554560540a^{2} + 21827617507574241989881802892a - 522856790230222249751861564752 )x^{36} + (-545796696567714329577937686736a^{2} - 337634149399033672204929891424a - 545764359820959208068082894688 )x^{35} + (-111721145839915432917236338384a^{2} + 460828524935253181323506001848a + 310988603678432308493287134776 )x^{34} + (-78855730104439260195043485336a^{2} - 20941465884192777194083578344a - 214999266488035753320176583440 )x^{33} + (-555636958773103013278422822880a^{2} + 470590940147928715094839838296a + 216822396398668991921548717560 )x^{32} + (333775577054197238936449025456a^{2} + 153441223886622390439108142816a + 324831853517848809958242478784 )x^{31} + (-52400487901731676600488192216a^{2} - 618337808030779202464126476128a + 228413045308440692301366505200 )x^{30} + (-324715027399340427448145164600a^{2} - 228852693269882928055293408976a - 574705425592141118545830938704 )x^{29} + (-408393281850130818514885005312a^{2} + 533614510979893479621439175944a - 65876777136410460045962220352 )x^{28} + (413446268023128808252563743776a^{2} + 306714558987349552782484813520a - 365742001314024613234376703824 )x^{27} + (596183847717086296090232812832a^{2} - 170042727762758904533497572480a - 7982622281178305387598297592 )x^{26} + (68211606323755975762102700176a^{2} + 88342138731939619230154400832a + 232388701055811249232802218064 )x^{25} + (-401097476876513136960054982376a^{2} + 376890394398948245493703829488a + 556687988249283418553165036520 )x^{24} + (-578746204073325492409116631504a^{2} - 414704329141017762163023679376a - 150216588383988078969949617536 )x^{23} + (-211262829680376446238516763008a^{2} + 123723074024663193871274204840a - 428232940388426964955710178560 )x^{22} + (540979104929272349865304265200a^{2} + 210141723794146735235685789648a - 31126841749289080654169697264 )x^{21} + (-283594120130411966977666643792a^{2} + 385449715936670475917247953264a + 339654581943796293845687925672 )x^{20} + (202391091440012365786723417856a^{2} - 66555531148555079833405392576a - 277021189487037032501758064320 )x^{19} + (29418413398046613865936656632a^{2} - 198399429222241922552767532776a - 150121607490439229607294049064 )x^{18} + (30667205113407099795486989904a^{2} - 150747410689632758519854512160a + 565056236661773667681073312928 )x^{17} + (245741328356829848750166893848a^{2} + 304914041046712839552997544120a - 561392446921455966634635339712 )x^{16} + (313838236975874168477724692096a^{2} + 206522390523708102799666061664a - 156306396298235094441384899392 )x^{15} + (-529092605731759985691231501984a^{2} + 251585618714747987789936108016a - 419911274534615468627050302080 )x^{14} + (-536813225447231087135246385952a^{2} - 155464199831515563871143779808a - 98204391945795052855015199136 )x^{13} + (-145724305959601999252550065096a^{2} - 365441861900126652558679037640a + 180959426069369166207298350880 )x^{12} + (-32980392449905936659785114464a^{2} - 338685456580493858444312589440a + 263337983716108675591393248352 )x^{11} + (-519624330363385520921126818496a^{2} - 294913930727257764264586059952a + 501226227451785139749616027344 )x^{10} + (-278117706876340793619826404048a^{2} + 102599857450030175078597580144a + 47272473245143801815548027712 )x^{9} + (522924360954174935114966088448a^{2} + 573480644056637511339771513136a - 552848544598365728987632320272 )x^{8} + (-254329276298675319719257350176a^{2} - 387241113545704987489197986048a + 594774378033907685063322867456 )x^{7} + (-419140387240420793276235084896a^{2} + 420727210881453561430561772176a - 286028295883208686055790088752 )x^{6} + (141350532246945352319413268528a^{2} - 134368178331899816108809110016a + 595487110855711119941928640288 )x^{5} + (96978781371016963628494068320a^{2} - 338308187727987786771907612080a + 179080279919768133817629206784 )x^{4} + (-277759371676194358118585023424a^{2} - 188336806964729474996068276384a - 599020974598844689068101196576 )x^{3} + (-444309935658315520683844492032a^{2} - 115338649638780712029085472064a + 541405534731815893920690073424 )x^{2} + (-555978642241427880303371014560a^{2} + 102547933094776601161922527168a - 391701050974079551932018866784 )x - 543553461504014971712563568944a^{2} + 131926354747627305538127057904a - 6100293878786945348506415012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary