← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (-430399431528854888159525224520a^{2} - 384963429028800065790457790832a - 439194892350061181984212796288 )x^{46} + (-252936623120159415641404137088a^{2} - 226237382240078214062827807832a - 233988080862426570766681324696 )x^{45} + (-309481999795093998716099884392a^{2} - 33460621872246733234627595004a - 327492226013649834932366549996 )x^{44} + (476385692965819311842599880288a^{2} - 271199845463202280149528327056a + 473139519453566860174847358192 )x^{43} + (-319711561519753402158562995224a^{2} + 327233616369441908224615778888a - 583132324293982334760608415460 )x^{42} + (101876573082253654430661531224a^{2} - 21781150367459985730903329648a - 178012160986502344623385623416 )x^{41} + (87803283873258621333686748a^{2} + 512016848053924363737238390300a + 505231893170394696353932232236 )x^{40} + (-219174895154570746467620213056a^{2} + 332051692703760708516612431472a - 180937352603967556538243070752 )x^{39} + (-540945848143029901799099903072a^{2} - 351322335198722458977753920984a - 500541442298846178242900281096 )x^{38} + (548728253780125742596002375672a^{2} - 1468065041912414867328726184a + 466861639803339176240752887360 )x^{37} + (-510170545960224831712985545760a^{2} - 100596744764434361630144661112a - 467185303750663894799948091560 )x^{36} + (-328285559625291379538404044048a^{2} + 506191178294468771829819504112a - 284338555572416074498094528224 )x^{35} + (97031845404045658949997090992a^{2} - 272573863866194256816127235008a + 116388145861485001107789303400 )x^{34} + (161388630010218537096818107056a^{2} - 136745295256665098070832925176a + 65774973880606076679534542448 )x^{33} + (-412962089654858263077570472992a^{2} - 403906607877572849596670096144a - 219154775304801078917911025256 )x^{32} + (-43232080264955588844681496272a^{2} - 390363169506970366973924386128a + 184786247493251855488695726736 )x^{31} + (333242592845466440486597528072a^{2} + 160627502711596339332802614160a - 185878557653898069339670000520 )x^{30} + (-254090006803370540719157927856a^{2} + 117228555664564781099051637936a + 141068534088172686639894249808 )x^{29} + (168626357147523783351517525360a^{2} - 427422477410606360237100806216a - 321524599022390125201536170640 )x^{28} + (-6539258630619532845438383776a^{2} + 357187362892814753321462266816a + 606380610861875324959572976448 )x^{27} + (-22462891701432072345526701968a^{2} + 580524020377421124880918982504a - 78027005893448081501770217712 )x^{26} + (64718868193812121483936089328a^{2} - 547761756982315390888283254848a - 585073337679675538332095426576 )x^{25} + (-627463237559846468721989958940a^{2} - 300628992581639174383528507932a + 405643162397853551791647144868 )x^{24} + (401137517745012701260055557120a^{2} + 575951520823682832009140517920a + 532295279644103810401897134592 )x^{23} + (-191445427521999326256491109936a^{2} + 2528610792495738657616458512a + 496201746757972145305888662432 )x^{22} + (226270320681815287994607643648a^{2} + 449358452561287502209597167136a + 256645076602565618564246324176 )x^{21} + (340454155297295409375651092568a^{2} + 418742127187329788421320883296a + 581014110050937535789134715704 )x^{20} + (-447390511162423764139044499264a^{2} + 588015983183009778013147763648a + 169687553627069691194288074240 )x^{19} + (-188753388343084066542907726192a^{2} + 572815760496069327654070197688a + 52286709588275575098020116952 )x^{18} + (-112414228067407506344081634896a^{2} + 377594758078309954693124754656a - 532116791071814167026266027744 )x^{17} + (-478458829697679255953736797520a^{2} - 87877439851916960793774277720a + 365146829497022078711422177168 )x^{16} + (328670202956547976318517368352a^{2} - 371663031670733245052332294272a - 128616902135347627741442450720 )x^{15} + (-25808791674321501420634126864a^{2} - 534766081914778961235880078848a + 544057857912361285826061290096 )x^{14} + (-54793830601202697818076098464a^{2} + 64068646979039303342062505472a - 50048269321381179076820288336 )x^{13} + (151549047504889842188793920560a^{2} - 98671283144598193476973491408a + 70945114841248731479283841824 )x^{12} + (-626120110994616641425315254656a^{2} + 301832865445855812080259171520a + 525134089979641446323499000224 )x^{11} + (625837525211782785773115522112a^{2} + 303670387168650368396111911312a + 631292930728719105167205216432 )x^{10} + (-62708661695156462769325179216a^{2} + 558268455898809306854191493968a - 39860690463370926490514829984 )x^{9} + (-298450216147508205899300347232a^{2} - 64641778086566833270103687472a + 476226642813730254282213125296 )x^{8} + (282684372052749998593239947456a^{2} + 108313516312511329244307500000a - 136089247089744158429993415040 )x^{7} + (-287216974171096929270098300064a^{2} - 257119721000269343982691826416a - 303206742892852742900718462112 )x^{6} + (520038549960579380836613160768a^{2} - 38496743391668304308233322016a + 414690354914546566843510189184 )x^{5} + (-181616918377239932602649498704a^{2} - 631002430764800013434535953680a + 355311911648358678200338858912 )x^{4} + (-217373192098759092576648315840a^{2} + 624810653807072216120826605504a - 96874306226048866895343472704 )x^{3} + (-115690935210593598311260684720a^{2} - 632759351666022719504532857392a - 452641349993335743577687740000 )x^{2} + (-627221071022297670628062053088a^{2} + 442198430187853598515793609920a + 555834025297592826042661222784 )x - 296233210933527515991069913236a^{2} + 32407208767924192977678233616a - 472552703426253091173007198036 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary