← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (351334526354961173668811454728a^{2} - 126138748603361043080750136368a + 462275545158045556773948060992 )x^{46} + (-47358422750070936741460319440a^{2} + 594468114829965962972538853576a - 521986205118145186178349042584 )x^{45} + (66676056671007090597194740096a^{2} + 303699692239715044832009721980a - 161995786248584312421673844012 )x^{44} + (489971072838727314608772158928a^{2} + 378760513947229731667047985088a - 65937274840211690558220095104 )x^{43} + (317724354053968769067680819352a^{2} + 323780511363993082225394168568a + 18022514510392245874847416244 )x^{42} + (-265785178804787006391791433496a^{2} - 504676950883632222433659773744a - 124638184915500762435717356312 )x^{41} + (-140206207247645777331569731268a^{2} + 31070622617158047702006604228a - 326111340412163898282928302468 )x^{40} + (-72597256233817396545829934528a^{2} + 321839365780649940537276535600a - 53478326866315591918388703520 )x^{39} + (-41299175805606065629940910304a^{2} + 573059439040776909452461581448a - 346052041297470287345040746568 )x^{38} + (-563173026424083191910779406616a^{2} - 96019386253724326919303154168a + 171460411449203790392460510864 )x^{37} + (160178908541061324478372339080a^{2} + 166874903530659514760749382072a + 264391560847510677286654661464 )x^{36} + (221263170298408927744299097136a^{2} - 284052268269451807857820440880a + 101496931447825730183983570400 )x^{35} + (-18418007681582383459255413136a^{2} + 429421169609458704057648687808a + 382632260356445387001788004120 )x^{34} + (-14505863156317562603616602816a^{2} - 126143178406510526698781841736a + 238268919404297874716049599376 )x^{33} + (308018755418633418280648872912a^{2} - 4168687608472490457677409600a - 265357577578214834846833526736 )x^{32} + (-499260365349710785441490571280a^{2} - 608386519644640428988951061456a - 390257966354261248641455411632 )x^{31} + (-386079166144836965269762120232a^{2} - 321142538261688301948798569408a + 299119369253633101418313301336 )x^{30} + (-55399507516068054105322119376a^{2} - 243664116126936790603575889360a + 1608718564530192325574129072 )x^{29} + (-172103631787251242266577502880a^{2} - 211946792015889600698338788440a - 32943140811866976721454444752 )x^{28} + (-479951461476272387615620549024a^{2} + 165069602114878887850282382688a - 23831144564377969283395188832 )x^{27} + (305686128322517880862876244832a^{2} + 115402566864305980160943377736a + 418027002635078017960260586064 )x^{26} + (-230621229972612364325821053952a^{2} - 258872727435703569051589308480a - 162005000848157658817555329184 )x^{25} + (-170258597521338086297104485228a^{2} + 365872154644957893399369145868a + 610186457177696635629106892428 )x^{24} + (-242753505942386668460135718848a^{2} + 601274161374165299412856160096a + 92119440539343402658778924416 )x^{23} + (-582914158773927160063258340880a^{2} - 223469344510489698126222466128a + 584261697240855891782059677792 )x^{22} + (304377039947643531598618530848a^{2} - 378375244802005235171924811808a + 350323539998332057239524007472 )x^{21} + (-28619295813888277402688763656a^{2} - 169834486419788261061856164800a - 495588114833485156181034601608 )x^{20} + (-334775487228253111995757936704a^{2} - 298590172543898580736532546528a - 602782251962063032204068974400 )x^{19} + (-251052877652694579760468548640a^{2} - 230768328855958812654655780536a + 183872634648562471922754965784 )x^{18} + (136517299300905342137410678736a^{2} - 546560223489026858392747147680a + 596177762644242261412087504608 )x^{17} + (-275574332257279459890580649072a^{2} + 56525912593629008879929767896a + 415089527641533434224017625872 )x^{16} + (250602812567564323306702734880a^{2} + 627243515182066500940583357696a + 389769488387218066507887834720 )x^{15} + (20211771864707052665865118384a^{2} - 67312322433736314829994028576a + 69758334609577146474685383728 )x^{14} + (370486514114213200979396414368a^{2} - 484941792591905295041133896576a - 445791358292917296323994334352 )x^{13} + (440378563817509082101391382576a^{2} + 174498743697630270905827366288a - 63534944659405278303680274048 )x^{12} + (-400118221113386654965027618368a^{2} - 185090955979449167041030640704a + 359533382045054832004252108064 )x^{11} + (-550511784383671599141791816960a^{2} - 462898487603426416312023636528a - 589252696769746157255667213296 )x^{10} + (-348405627438230370495383624528a^{2} - 212727983200011957181596092144a + 252364323335567929963847409952 )x^{9} + (-183073580900127896961198035392a^{2} - 476226322562294313360481615008a - 90384185425264281873189651328 )x^{8} + (-632734773799365855536717793280a^{2} - 50266968478256168982966768672a - 127481289324514351566686505472 )x^{7} + (18475644470051919227464419264a^{2} - 633160699587651500677575699760a + 12186969363128923818823138496 )x^{6} + (398706086634262115870230197888a^{2} - 249943629960934885393055735648a + 252048471655536258473511441152 )x^{5} + (216343884889242372427042065008a^{2} + 476516159060687290630616383152a + 506405426735689535181712919072 )x^{4} + (-267470014247562351176784821696a^{2} + 441811403293240352660835838528a + 423706594767248577729391433024 )x^{3} + (-339651220356183217456412605424a^{2} + 433180420733680143593629000208a + 127427747849433420481233230176 )x^{2} + (-561930759416046060164141587328a^{2} + 570673897510862292846679819328a - 270154046585691852599964544256 )x + 628506629819206082113619252332a^{2} + 629399499136755111444019260384a + 606971527101410798038749483404 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary