← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (562506797282044944607658286504a^{2} + 516216953317797020776120374688a - 224865274927435901240559002400 )x^{46} + (84362272102444426705422106512a^{2} - 339823176549697281944256721224a + 198502930406508293325306332072 )x^{45} + (451229761913790994032125157920a^{2} + 350302730491324393144083641812a + 171600661947940776185669777916 )x^{44} + (606641002761624590198125240720a^{2} - 420702021589049624023658883392a + 224943692076892112144755288080 )x^{43} + (-466497424371123703026325073832a^{2} - 626746204187682027850748148296a + 276711187579587071286929957796 )x^{42} + (-90213524319617884128037136392a^{2} - 215273275398357494127922938608a + 202552655802154553790668692248 )x^{41} + (217633429536934525272396034492a^{2} + 129807209324189618357484277052a + 481427797235030733462486189620 )x^{40} + (-15804225236611285529648152448a^{2} + 114056767733688287855283228304a - 294173431828334463053870657824 )x^{39} + (-306337744092363019281581760288a^{2} + 284427246966114220286453722728a + 584269892708206047947470400760 )x^{38} + (-456920745433148072471430208792a^{2} - 401473721631696524695640900456a - 316472225611646504044021951632 )x^{37} + (347174571104826762968393903136a^{2} - 333424354817118615310160133576a - 204226844090327078869626960192 )x^{36} + (491978262290488153887939684944a^{2} + 616565636129048403545885499120a - 243032534064650763243614336064 )x^{35} + (-385929466194749829524091536320a^{2} + 540831142340972947392111233600a + 156723685223644910606183110040 )x^{34} + (-340641393522763638106402630416a^{2} + 230094364884170233478806867944a + 192601315868201933948857688896 )x^{33} + (389137004475689015791432028240a^{2} - 302469349206665679226367202688a - 560452770736292929324806726480 )x^{32} + (-497039125359360529863740938768a^{2} + 261163236358113937497927619184a + 104651777445366001074069257872 )x^{31} + (94263774599062359182814625496a^{2} + 55007923509968862178856767056a - 339480526240448854286662654136 )x^{30} + (-353098558547358194039223739376a^{2} + 588142615396278424729476419152a - 241246178928474939141736619376 )x^{29} + (-67694828601389784759416773408a^{2} + 558179790233617588330885821208a - 285572204362885647199164454432 )x^{28} + (-168668448597270258296713904736a^{2} + 580522272390695935575365679008a - 308411920366192830029466417152 )x^{27} + (428579265768861624192177655056a^{2} - 39571546834775379106692425608a - 612554730737148266210125558624 )x^{26} + (178792531028564431360625951472a^{2} + 408072624290864824907377297232a + 41162825673790342611740391488 )x^{25} + (507004722781119218958589382108a^{2} - 23760546969591972886222553468a - 437435440897595777272807671764 )x^{24} + (-70353244911671569832539250432a^{2} + 197468578555321177474066863392a - 332458040828879943304526005696 )x^{23} + (505901606419516368645077882736a^{2} + 290141849140267060367827953040a + 606675960769487518351937805504 )x^{22} + (335107337839645425011504399424a^{2} + 2451040986183995168854999616a - 605934989398506424538777790640 )x^{21} + (-472891452898230785674764533624a^{2} - 562155701150539293310367279120a + 497750862156227444960468968824 )x^{20} + (-306552055743764237209699493120a^{2} - 544820800786823366788710769088a - 352945671541582336364586272480 )x^{19} + (3943830320959283581960896768a^{2} - 154704859647278352081936279112a - 381922458355430639008005527928 )x^{18} + (-10532391724085825479300731824a^{2} + 151366239759481082632687966048a - 353498503033344411561363808832 )x^{17} + (633800572905626511427366332432a^{2} - 366369929299845305123716060216a + 20838687316109850657928238800 )x^{16} + (-131988456095099329038868833888a^{2} - 253179524078069384356195255936a + 425194410994709974284489092320 )x^{15} + (446800978995344267151565674992a^{2} - 232988245998693862586992292128a - 287005864775025706579004215472 )x^{14} + (-406799251859706013999539706464a^{2} + 125653765239808525955587024512a + 51186614158974159926857361968 )x^{13} + (-569665145165936062071115390016a^{2} - 14980785272676562927762626480a + 162529478203806050379833320016 )x^{12} + (297261343981242680438125579264a^{2} - 366451175574014144690178613056a - 520025629963838621123727429472 )x^{11} + (-326855357149061323409550351520a^{2} + 313110889807713246096748847920a + 420273533709465591731847535792 )x^{10} + (456944352596206818846906727696a^{2} + 393900311011072741678828983248a + 343622341009604998231262872480 )x^{9} + (-68458501939559603702218370912a^{2} + 497595611809800400364149365632a - 615104069964932649857004023776 )x^{8} + (269892713590480455560996271168a^{2} - 151218432321038916583398469216a + 92242824499027329407525772992 )x^{7} + (-431405983673395430922865721536a^{2} + 334700391982705104171079145136a + 76085924033502333230736488800 )x^{6} + (574475670211597800926649866496a^{2} + 100249922718012351632071051296a - 309978531103000714642162793408 )x^{5} + (308040680066551085534239979184a^{2} - 319260367938146389369204691120a - 240751393845134337477669093280 )x^{4} + (-311094718479516356019628341056a^{2} + 608014075889051238281257328320a + 101111534300955911169646074880 )x^{3} + (391580019250784856630287467152a^{2} - 73334748317184084707924092272a - 488145527549495520303183888736 )x^{2} + (-507268767366006349948516036864a^{2} + 185350981548659923545051555200a - 529596134090031169962309203232 )x - 380531517111063563946449433828a^{2} - 177385592730216825974445442336a + 267447342666333970055796014124 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary