← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (376709030876470730349198551024a^{2} - 268505026164993885517007018576a - 159038279789906260568316851248 )x^{47} + (-135634112511817243449543572552a^{2} - 594367112852515605691808409856a + 470688330671759034194499607232 )x^{46} + (-341624287597028951115786720576a^{2} + 433043636249970258250433286968a - 411788163541539950357891634296 )x^{45} + (62873752644489452371022125880a^{2} - 117782227159870067314790994852a - 491764281153519167601575198868 )x^{44} + (-212309471853067463142188577568a^{2} - 479548082284400371176451841488a + 588055230460019802382372877696 )x^{43} + (-9804838207985180994734106872a^{2} - 489227783373273351670602673464a - 190334977911424081335285764036 )x^{42} + (199149927796684650906584674024a^{2} + 79787485658095345410643677840a - 89555456906134974908314141064 )x^{41} + (200223999520725917106461936972a^{2} + 428346238391988614540142376836a - 206308015076880293684836228508 )x^{40} + (299110260435564082516706397568a^{2} - 268170128434167165101197439920a - 20779768165039012503104559584 )x^{39} + (-607628655488057789445474884384a^{2} - 619695529204453523916464605208a + 332900081805133985293958332568 )x^{38} + (531647298021477449317956595512a^{2} + 21666236033002378743803547016a + 536757550825481306500824655232 )x^{37} + (223285224888038203091422814760a^{2} - 406413671216051053027176602984a - 343433724142744431068439730240 )x^{36} + (-145851523842430718641693226928a^{2} + 384065229672066915713557913360a + 426197718824737659735624967552 )x^{35} + (183924024397616912124137113824a^{2} + 211822331870646725663722707552a + 97304728687350881204732095304 )x^{34} + (110672875592301365201471036448a^{2} - 56644366518948993425890472680a - 39880737166999504580257270560 )x^{33} + (373220541636045068887643727200a^{2} + 524630378963745932467963358544a - 85948189921337142274950796808 )x^{32} + (-188525599324512219142695886800a^{2} + 4659135426949891926915877488a + 284393845161301325305316403792 )x^{31} + (164914530162336046809957259016a^{2} - 459579614388483894890383294944a - 223095624504543272525279215736 )x^{30} + (-400747862513042917182658449808a^{2} + 154057807257517216572684595664a - 116162975265761068813572399824 )x^{29} + (372921731793342789827842570928a^{2} + 326051884288246126128582385960a + 474639996440619897680811189184 )x^{28} + (178752239995725291789063029152a^{2} + 113756449188387451894858445440a + 329588436335750605447952494432 )x^{27} + (539715999052426576582388118816a^{2} + 413165377962136922097107258712a + 154187939725114351874187518144 )x^{26} + (37120423776247347893467418496a^{2} - 495868162581937292692477283600a + 447766636828590907764200240304 )x^{25} + (-426400329840867357921674483428a^{2} - 459521172334614780952508541844a + 189531237376702609354922210068 )x^{24} + (44339447308252784581398994368a^{2} + 230198189996513582721142444640a + 90933241304629948911419565376 )x^{23} + (123919993642611855907450254992a^{2} - 415457728398098828049977224464a - 81727374896958842525898899648 )x^{22} + (-490019781593553957214211346016a^{2} - 285269824832094599548803551744a + 455841748516603608809361571312 )x^{21} + (-603961878322398724091197772312a^{2} - 235441981269653730586067866576a + 220836753105618717652774996728 )x^{20} + (-136075306522385361411255483776a^{2} + 601510679956839084913131796064a + 315695494167419219669224858144 )x^{19} + (-574867240412988064957556951504a^{2} - 378623697276072824982750006584a - 477750155886913716514980996792 )x^{18} + (485681329443406103890751210480a^{2} + 613496785282700107028456940256a + 533274428029378967994368101696 )x^{17} + (-386233789612887306424657109488a^{2} + 1312814906311692487966615352a - 151040061146105914164888573104 )x^{16} + (30818416715967044499473769376a^{2} - 253723456398214071260063378176a - 278963891025315980455689173152 )x^{15} + (-20163018740297648006012769552a^{2} - 605878732063085600325830043712a - 41280861502351460451326114672 )x^{14} + (-558821043018102318265904121632a^{2} - 562821071436102560626049148672a + 31376752133951842511710320752 )x^{13} + (-431098054177187640703018610656a^{2} - 40763408837281935891854769488a + 13238103916566201180075951472 )x^{12} + (339001625505367653135321214528a^{2} + 70136795795571873946396071744a + 243620181404917669896745759776 )x^{11} + (59116794255068725319199888224a^{2} + 91449016229359528254914849840a - 543958237957202471250693159280 )x^{10} + (181351645367832151865275729104a^{2} - 242866528826598431927417049968a - 93264903947758245695120763488 )x^{9} + (354127173231358550556152175040a^{2} + 336594307117828671412400953776a + 403138834097287456259781230384 )x^{8} + (-215675945303710194246051123584a^{2} - 82437207260392235238244099168a + 270736587938983070542511791680 )x^{7} + (618682952356996842343702976992a^{2} + 341471076656662956617028408240a + 547455730835468779070175854912 )x^{6} + (449064330016878235893575963968a^{2} - 483755406348547853688373813920a - 472798014044954266995633035968 )x^{5} + (-165288351552284567317753093776a^{2} + 343811837504017417890414934480a - 143761771763025008426140021984 )x^{4} + (176338166545397518300965261632a^{2} - 522768414749923763033796753856a + 1071019370665504408179607296 )x^{3} + (-269080683567716209247960433200a^{2} + 590060213043335453084581521616a + 170555459697387755816507397472 )x^{2} + (28029658198396344340326361824a^{2} - 69821793629913806849143958528a - 509098702616084190221930381792 )x + 398671018909606852346138816796a^{2} - 84370607037355163986886198064a - 370631381907902182824335838900 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary