← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (-25935421127173297121644464360a^{2} - 596009235011737460874796332684a + 342373742417407829745227492008 )x^{46} + (257294466835806008764129273952a^{2} - 190488356628905823651758848240a + 427648977902333897285439280216 )x^{45} + (-294496955044633631338675974216a^{2} - 507008631378298000883956427160a + 155726166931007159285606482652 )x^{44} + (-389251997615384493099417025040a^{2} + 560014134241617981336568049328a + 409738866106362170096595461264 )x^{43} + (309003133478581886716899377524a^{2} + 379428387464500051677806640268a + 3490744565774493237558959412 )x^{42} + (186225605976685668929427941376a^{2} + 216284163225012368594162455352a - 203308497306026570422539094840 )x^{41} + (178515508866110457655561606212a^{2} + 248205265481704355653851620500a + 325344671031480250564372277096 )x^{40} + (390310208906586613145856121744a^{2} + 278084152307046359617478495600a + 21513780739267013760744415984 )x^{39} + (615156348843728971745845848256a^{2} - 188230165990686650220460549608a - 492061259090554802138711513664 )x^{38} + (422518857685914171191252314448a^{2} + 189554165990867534950815315520a - 554564433656449351599228596560 )x^{37} + (-379808366174719752500614204852a^{2} - 464885326203407082349636494468a + 95726562919891060148760894424 )x^{36} + (-228247632525233867505934031120a^{2} - 530418375877419636757686368864a + 538798985716145244753383687392 )x^{35} + (-26094075156640542613323706072a^{2} - 209707131653133153981806521696a + 316345802373455144818992078696 )x^{34} + (77672459779348380275099643064a^{2} + 234149532917170034167466087160a - 347077763667042221859083525408 )x^{33} + (462039527508633387792173751240a^{2} - 274320056651604628205931184024a + 329638591420392971323076531336 )x^{32} + (-26545729099772591273279642128a^{2} + 515599235316393730269664738656a - 536041819792465953607517187520 )x^{31} + (622809997438760279364167582184a^{2} + 470745045130885468691873704560a - 22849842394132542129090322848 )x^{30} + (229074891188797207250470337768a^{2} - 479935465458576678783979349392a + 553949145265319375365402505296 )x^{29} + (249666651502803019469289216928a^{2} + 31362182885154109317412138520a + 616301306670069275656090663808 )x^{28} + (585177751448233434562792631904a^{2} - 183239258707254486062687026608a - 498848218689193572528939697584 )x^{27} + (-293213706590408340455169741216a^{2} + 518729521460461426898353644800a - 512856177716674599388947809352 )x^{26} + (17836358564932469419088517616a^{2} + 421372341869561889750523249984a + 439123971394630809949341605968 )x^{25} + (187117602254508732706640785792a^{2} - 356648394601673641944883539720a - 256702945401625916586585814320 )x^{24} + (334333404663472537541318439408a^{2} - 102683320925739467004412118960a + 202911833342688064924683364704 )x^{23} + (-452714974115375034345854493056a^{2} + 423908123708552063170655246376a + 15034623449270590425509097424 )x^{22} + (197094644323233704019432416112a^{2} + 74658559826395059587666744976a + 360019345189352794631032361488 )x^{21} + (-194194050638017802770701722176a^{2} + 285765378492620035609050392128a + 87012431830254860194842776808 )x^{20} + (126630024029135507299442825024a^{2} - 201209680252625514008560341824a - 259096366592630694088044313920 )x^{19} + (-227054027029395413443924446632a^{2} + 353778297612529510093569912216a - 7326862566537240277414557512 )x^{18} + (-77294875655200513648472410240a^{2} - 391012381679841778321462260880a + 148935712197729803628801752080 )x^{17} + (349766820955324436115775233608a^{2} + 568265239492306391942455485592a - 394161502957965532817057397600 )x^{16} + (215526272633597660791686773568a^{2} + 329404945481866024374048305376a - 132025103897130060013185609216 )x^{15} + (-324298208105038752717328530176a^{2} + 341754627782897234911611005328a - 230234941384861741995165812576 )x^{14} + (-466302731444321690474167063072a^{2} - 510999730176602691756769601888a - 535377727370789200679315760672 )x^{13} + (-383448527634719257924032206280a^{2} + 452977347219128731017356600872a + 272284317407925092374278312224 )x^{12} + (284513904776459219501699051360a^{2} + 81961922051163351547088186880a - 626601116926277650332306642976 )x^{11} + (420715519219407156756827121008a^{2} - 530994351956995888348814347264a - 205581675352577776454805354032 )x^{10} + (365406666903316921550952793104a^{2} - 517531452293480159832554600944a + 44813195974374279509770522272 )x^{9} + (29211247496230313259443287568a^{2} + 582830691629809588872516064432a + 87368487196162995025290568816 )x^{8} + (-631933690333201301954826443040a^{2} + 610037951248537920791451664576a + 456098946715433282197364669568 )x^{7} + (616311903164252234801522806368a^{2} - 441498288995368901191036712080a - 461139113885998078229953808592 )x^{6} + (28695442326023880585814501296a^{2} + 584686248318721008165487201440a + 496060607737551900246968482528 )x^{5} + (-539310451727203037517449613152a^{2} - 28504928399783674874565993168a - 132035119860511585877869301600 )x^{4} + (-488077703691515661309984716544a^{2} - 430262641965178595808291319328a + 331790713043169314151138943904 )x^{3} + (-348300082967353736752707248992a^{2} - 627011883126508518431891568128a - 323716535968455663319674683696 )x^{2} + (469618749308739362192191900064a^{2} + 29951568674018966731822446528a - 529622280748200750951587465248 )x - 301649304788187257529342440160a^{2} + 37235725455116739405080555440a + 593804146229672074205413101100 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary