← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (-478876420968305544339461736824a^{2} + 568933098777190539331677388628a - 282773546334548294737689156200 )x^{46} + (435546134681328645039215850736a^{2} - 579135487653893691722841486384a + 7045412315689499065321143208 )x^{45} + (-148715132180989926397694750272a^{2} - 71097577856818852266314360240a - 520400187034298044125331679868 )x^{44} + (-457850651680645627596004478160a^{2} - 364286339551756877936649963024a + 566946029807310742688758960864 )x^{43} + (210623113518199671650105590060a^{2} + 401752320562062463492874762188a - 468422273506737181632771658188 )x^{42} + (-551659143511854390429004250776a^{2} - 373610030678775619912667489256a + 286857523285031694073065835024 )x^{41} + (-245523323954912648021195765180a^{2} + 280737749408167049706546002772a + 240593516454500514771487141616 )x^{40} + (-83194429302898593222072846448a^{2} - 103028462016260673203607475984a - 198068389211370192680217447216 )x^{39} + (77549873138141903234467361936a^{2} + 450051250651417989969311358056a + 575304092814913952521772972992 )x^{38} + (-382420658273432171307875627632a^{2} - 145133089261511904410215208512a - 611213587751351977288076443504 )x^{37} + (-203494196451945593296746669956a^{2} + 543087555840790284535827239708a + 111962367510872006930721913176 )x^{36} + (25082473520648837013915592512a^{2} - 477281774838451185831019201472a - 398818050274755315324247201344 )x^{35} + (142261523486606677627868771280a^{2} + 554209073858010343137227149480a - 323280408409372648030673613968 )x^{34} + (267365198686711164434824357224a^{2} - 422159657417349506409461161528a + 105552470016487335494061839232 )x^{33} + (117062877661877250797908159272a^{2} + 543951417865501093034695789952a + 127018576209375541507914386312 )x^{32} + (-357493655249756897415935888144a^{2} - 324600634500564446464245963808a - 128001801870564627139087663104 )x^{31} + (-92744260299181509085745802584a^{2} - 92074152776266600842528564464a - 225341337309797858811975205360 )x^{30} + (460337160351501021126413009192a^{2} + 423834533567337573003102261616a + 532173511121148536711862834352 )x^{29} + (210857891870018890147625782224a^{2} + 494635217368612645822313361784a + 72558971387204394441712012336 )x^{28} + (-312208873586180206805340206432a^{2} + 39030252281523880493297666928a + 390788213724891011915736902448 )x^{27} + (25719632552740331507712215440a^{2} - 599303482189387573221943215632a - 135564429373744461125034020120 )x^{26} + (-155820580013334101689730521776a^{2} - 564946911230958623935062460800a + 325131031046425298104449927568 )x^{25} + (27529622711577743290771393680a^{2} + 303078213445177852332954735992a - 494262843488932286347982076456 )x^{24} + (406625443317306209141433822608a^{2} - 217334546772707849803908612688a + 212417777536353291939483662208 )x^{23} + (-469661038276045773996370499280a^{2} - 603850063962133317355646065368a - 585666961480799245110284460336 )x^{22} + (311370524044293149254934510224a^{2} - 546316129150458953556837677232a - 69882534933801083187024941264 )x^{21} + (576131383530569180919607011216a^{2} - 243901838707106306267684696448a - 398204820566082780785701047432 )x^{20} + (-323557701806951241419508167168a^{2} + 319828457829825141846596575680a - 452183882251999305943454288352 )x^{19} + (-219456575086846193238343229208a^{2} - 472227278578478097484756773832a - 73659287695110887104805834840 )x^{18} + (-484916093618524209768647441968a^{2} + 352957781699433662299139673936a - 81399873055019124380434021312 )x^{17} + (-484244230160053406128642055368a^{2} + 270620076751391366114609298568a - 359528175910805852855031400352 )x^{16} + (-115421495973332313680289199040a^{2} - 500534631300698099485980916768a - 384493120340531072699058580672 )x^{15} + (469162057340033755244710939552a^{2} + 168204791400543733647428123728a - 400947349442295716668592496352 )x^{14} + (358085837515280416371913813856a^{2} + 233426744323114595298827319200a + 351608080112392912315141882144 )x^{13} + (-10266881695462469651297974216a^{2} + 417141991408550958418348771816a + 15943047644991266560776528640 )x^{12} + (-373847125992939455788962346304a^{2} - 607563603123054775329842394048a - 589112895798347317126767244896 )x^{11} + (37350886723478141272668452960a^{2} - 397648967055914735560111244400a - 605809912756027951852511777056 )x^{10} + (46201149368872530766119988176a^{2} + 191244644194913512282390365424a + 237940884821711055705921763648 )x^{9} + (407336459593001570016486335504a^{2} + 160231926876719123657547591072a + 479309817477891712030611650576 )x^{8} + (211167986013871874578017948896a^{2} - 423779058726899988589785902592a - 526853186868663151205466877120 )x^{7} + (-405862601959422471677322643136a^{2} + 138648343258817440157787288336a + 140085707172788595945965998960 )x^{6} + (464806746500245527980973812272a^{2} - 202010108747378973510588569344a - 597020339861168379296931840320 )x^{5} + (-322419312211044152598345167296a^{2} - 559156328465404879771822980816a - 551228664878208493227141748416 )x^{4} + (-612729140695310517964836918144a^{2} - 544163248676541880393964843488a + 135153434426986255480282651488 )x^{3} + (153362163079700873748732695808a^{2} - 347595979121647134714341355584a + 493877465004895467275025561712 )x^{2} + (96632344025131686247352978464a^{2} - 590647534184671095589025733248a + 10982627756981479400383705696 )x - 292911688972230262180401169904a^{2} - 140841839751123685657917271968a + 172791291869265510756215216124 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary