← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (-474925346920516712730138933096a^{2} + 92238568398080138467699681604a - 511014516237471794941570062072 )x^{46} + (-243622726684343325519439223392a^{2} + 226913705687406576773561649248a - 329685982896589267396577952488 )x^{45} + (-407056024851268284459190921616a^{2} + 365151828057146631989990644768a - 211210736374911224206953114668 )x^{44} + (-9683183286538385888125741600a^{2} + 222623645114312852784558015472a + 259466035319177449024094240576 )x^{43} + (548100597497011466024068671996a^{2} + 140280949423329822658768743092a - 311861607786542602988859560532 )x^{42} + (588404296175192125580075318288a^{2} - 158096028198662911597298493728a + 437092490200699211719683038432 )x^{41} + (-284882009084376557206690896620a^{2} + 143064386736997360893404051332a - 343835425581132046791809882000 )x^{40} + (228040272616170100341143452240a^{2} - 18844683368380335990421603280a - 239397863554867537692087917040 )x^{39} + (-582285012242495018999319149296a^{2} + 560782833275639791553207746728a - 19967476410762689805851813360 )x^{38} + (264460220908443549826832237200a^{2} + 230743234047132618539411801984a - 623238200806407122393872267728 )x^{37} + (433164012295930760466457013140a^{2} + 292548144807871044082298446460a + 45834266901250886323444927272 )x^{36} + (417634196710774671563788749456a^{2} - 52888691875751578690249469488a + 343937636735023183079729605280 )x^{35} + (368970128014311966542347167024a^{2} + 13448400779533207866724921632a + 27415357276646196396816690040 )x^{34} + (46384670615033752749865330168a^{2} + 95135830658606186895079765672a + 85097361836699694125306764352 )x^{33} + (-408598088886949028884358125616a^{2} - 401198992183685239800220513304a + 375648087064514247685461202488 )x^{32} + (396385950420465066253520149488a^{2} + 385383664095930241745849820512a - 628647910737518879894157602560 )x^{31} + (-383726149300188296561299144872a^{2} - 426825955302445550801289414864a - 83480202376566321584341029568 )x^{30} + (397033824389505357217394292200a^{2} - 68622713458614643104570612016a - 621821656227446197609842215184 )x^{29} + (201534966677419046624633135552a^{2} + 205655302554998715317136270808a + 519513262288933904052619112256 )x^{28} + (421313847143086145963991137504a^{2} + 526319150806906138899401207728a + 38235685557715636231107416656 )x^{27} + (421650956859205326004122882016a^{2} - 535404303482074789881289531712a + 390828762806630022873660758968 )x^{26} + (187395500160016004989328924880a^{2} + 57712105719907661554009255712a - 52061508884262868043509119312 )x^{25} + (186587549408578235793837221544a^{2} + 622047741950434047071554935344a - 323962703085203422439708061784 )x^{24} + (-455816833288765338064236028080a^{2} - 280416456734374974197846465008a - 120062526747937857393986580800 )x^{23} + (-31395721439727839586444204512a^{2} - 468381803047585411703588125032a - 257664202290516790876162224096 )x^{22} + (-196523507596711866984044650384a^{2} - 210408832247024173590950887152a + 388829225817492205551645065520 )x^{21} + (-339770067167523412110284066144a^{2} + 363097057051229240859212315152a + 400004416973749608286813666616 )x^{20} + (218704054145873103013263917600a^{2} - 69680893522031620403809993664a - 473522979252940217091393805216 )x^{19} + (-631720267592356244030054197896a^{2} - 57987110301421806125599261368a - 502742431915904134429396432280 )x^{18} + (272006359538207424580485799104a^{2} + 98334321505932137700713021600a + 633649973720812059093503035008 )x^{17} + (-630562257937206006854748494312a^{2} - 166987822502332218467182702120a - 559561663653615968994295474208 )x^{16} + (-187211470427959472707113579008a^{2} - 398533103350753038561521612384a + 356475368567416180229782437120 )x^{15} + (25187725001888256139653315808a^{2} - 219689907275626773905917218000a + 66826086458235785353590205472 )x^{14} + (467572478668823088530616602528a^{2} + 102456233669144370324118446240a - 17876684263928508285020724576 )x^{13} + (241984722859459941395671980072a^{2} - 164544112007850482631370240744a + 503947111130772129518901699536 )x^{12} + (-497231064230804371390193420896a^{2} - 417033701356941892930243966432a - 49227063668619944431997198688 )x^{11} + (-245632793973720534497663438656a^{2} + 511829415600564930401663180736a + 84960796435419040336588851632 )x^{10} + (-459506141624805873408068134192a^{2} - 418195874931701078424115381296a - 395222157788588228206992816032 )x^{9} + (-68116292077550832656901811232a^{2} + 527011868797588085881481897232a + 429691634575382244552803284784 )x^{8} + (-578112037931971677154758542048a^{2} - 596400997962569891038118668032a - 466396872673345900057744420864 )x^{7} + (30779868019632423880698264192a^{2} - 91922056840800857977767699760a - 141706893699749711147899678512 )x^{6} + (-330350176331191545237545218672a^{2} - 12699855177985009048551327744a + 208596848128289649730088168736 )x^{5} + (-288850793254170562596727297888a^{2} - 582686885297023657829727810768a + 209146797495705650630775103744 )x^{4} + (232924129156868605931126246336a^{2} - 211558977426712844631803716064a + 343114255104367718173377463840 )x^{3} + (629861768384517146167651658880a^{2} - 515014761514732513327949598528a + 589376838530724495371334841424 )x^{2} + (71304408166398816665270313376a^{2} - 128459695033487877951332131392a + 576763593287435611726033483808 )x + 37368546070270428392761220560a^{2} + 176371140056545280729176002800a - 256200107162607892494827037060 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary