← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.187718_654444_729386.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-232221912598481700689968149922a^{2} - 101266337377265699765411586620a - 155500732453633870608934420750)\mu_3 - 270647812294416999133826889464a^{2} + 279253854899379229611856902414a - 90601922608365258840514611266)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2)))c + (3\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 3))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + 4a)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (a^{2} - 2)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a + 1)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159038279789906260568316851224a^{2} - 376709030876470730349198551048a + 109466746375087624948690167328 )x^{47} + (537070575529721960488972455496a^{2} - 44323427761944828020473329628a + 264050165353029075990171801368 )x^{46} + (80087063699711027662964088496a^{2} + 42967436916832602052566053536a - 116974813088438271991327117240 )x^{45} + (378686111592497992533199266152a^{2} - 349389334231903324170053300408a - 459749846974690647473388637860 )x^{44} + (-149974016547202067774372219424a^{2} + 84256380855348237366827049456a + 511465256675385854647858829616 )x^{43} + (-251274636213259967405341260604a^{2} - 121431022003064006984446264316a - 368011712179485956603699723268 )x^{42} + (560550012399550164424131862040a^{2} - 308575615734240475277012416720a + 537241403982661144379880703848 )x^{41} + (-194957243411788491743413911068a^{2} + 149899498785887956568784530340a + 284053165894932636765170451272 )x^{40} + (102927499661538600437932574864a^{2} - 586629508931724705504776456400a - 123538284014911808914012445264 )x^{39} + (-216279273686701716439596791296a^{2} + 16174583806640171776833102296a + 30773418225855874593394606128 )x^{38} + (541465135152545271737172100880a^{2} - 96770149324570603295450138240a - 391230778008911795668471226096 )x^{37} + (271568536982604627901357295172a^{2} - 203185810908659252988257805940a - 548335312295415566380149097000 )x^{36} + (-531346304516872696080189655296a^{2} + 75440809692825032477022907472a - 292526278550179027861204836544 )x^{35} + (57836098503908256080960647928a^{2} + 297416048539076063423228980312a + 412566355924554317163992380944 )x^{34} + (316239344593838867816677737320a^{2} + 359243688633787417682688437848a + 7223361842747747076539707680 )x^{33} + (37910538449768638402728353616a^{2} - 350344994821662047120439967104a - 607564793794584155186015861528 )x^{32} + (-148801238227760626924187456016a^{2} + 413573364806374491064465636448a - 594388902091772711265313843264 )x^{31} + (181685520823006736100725561432a^{2} + 372940691881697803193350365680a + 259051599985764170859607538864 )x^{30} + (-255802393170212033976774296728a^{2} + 146748347655812136556665895696a - 367418225934674049638298351024 )x^{29} + (517046042030040013256839681616a^{2} - 46116344745803208007388442792a - 552356115483355223619309385136 )x^{28} + (-48009861077198759455167815008a^{2} - 168976775702925357848582263280a - 495451230529416335266198044624 )x^{27} + (-492822975614456321589015174032a^{2} - 234123324596953910884993333552a - 440869506617479819542724643960 )x^{26} + (-142372199942272370393771427280a^{2} + 388006523514459012826738745824a - 396993737053663013235672111952 )x^{25} + (-505168964957688380774299456680a^{2} + 242117509657247755679719726464a + 585286658636689808173427308784 )x^{24} + (-294344440635376618158930834320a^{2} + 101243683563738311359593394416a + 98227455558566694178656887648 )x^{23} + (102462471193729608221794953392a^{2} - 427859006422281558460377147432a - 333403698553717302022008135232 )x^{22} + (394625186841596754899298991184a^{2} + 375233341571414017703493879888a - 169431680628595043866435583600 )x^{21} + (-413306129278723873839248401008a^{2} + 246846014628559143837675710064a - 499807521718544566565198006200 )x^{20} + (-324462684747529622754341040480a^{2} + 399711437788389012230515308864a - 168631449407009446829176450624 )x^{19} + (572627800156866345739376100424a^{2} - 135138848017077679924181723352a + 67915571879952544012382477304 )x^{18} + (-243817158516188846910604464592a^{2} - 278200834265499778201762834976a + 599305199283127676836678305520 )x^{17} + (128866076371138387581766494088a^{2} - 399436750851864773618670807512a - 324006398144645242482490327040 )x^{16} + (-6747960002621309381004008320a^{2} + 540330577956546667278694756640a - 572905736834021683699233332544 )x^{15} + (-290326320768417138139017710848a^{2} + 268056323595983959938382323120a + 543984352737505954861971239008 )x^{14} + (-629226591800922829922379594720a^{2} + 360048817006670478425318460064a - 142524599198768450464436298016 )x^{13} + (-330044158581848827958726203288a^{2} + 533225186875416797541838153144a - 8206364303072492162728492304 )x^{12} + (-351245750392823267831931543104a^{2} + 294398140114062565608762215776a + 56644530590706835430827764576 )x^{11} + (463896783570029237446210979696a^{2} + 264977617219974662865948089680a + 511922251829343535680389629984 )x^{10} + (105659688223156266737462382608a^{2} + 89718231323587761709699711344a + 157094458084322655944205544192 )x^{9} + (96572809043236575262662959200a^{2} + 151621908227771779853503841280a + 98542563699242565659741466288 )x^{8} + (385857443711790809775476080160a^{2} - 587929200114490996418369733568a + 155999185598476054458028830912 )x^{7} + (303620405198339885151892160928a^{2} - 226482876965243627328622129936a - 98657059432553020241042298928 )x^{6} + (324783693432726033349459326736a^{2} - 485120876303740912047245479712a + 564205318990128248449499077312 )x^{5} + (-536711166833283257285910001856a^{2} - 406639901771260153229809420240a - 334609527686499142935429411424 )x^{4} + (-111031045672410594510800422592a^{2} + 362363320990068058638622731232a - 183030852247811974602354929056 )x^{3} + (-268461313520450193410866110368a^{2} + 282790955031468617306817380352a + 606202936792501787854298144432 )x^{2} + (202876621378165490835808348192a^{2} + 172009374273318097999957698944a + 50484808772082750009655004192 )x - 441109310928475467372021080704a^{2} - 123248090081085035214868099104a - 608637049682686803282982639476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary