← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (242345976830386289954478427756a^{2} + 311461399347188021436928838428a - 532222852324306849128332074472 )x^{46} + (514374407130787504236903982224a^{2} + 403717411321191342580616866584a + 429442886741283948274133648448 )x^{45} + (319207360857882985096392268152a^{2} - 54477131412977270394983842860a - 29015088220263024813964582872 )x^{44} + (291167892820898038096523622824a^{2} + 529964906804691907760912888048a + 490396621595584223155349358584 )x^{43} + (109705223195056335970248544300a^{2} - 570381898931511061993060528100a + 98492936149764435052126071240 )x^{42} + (-84264990553214622948641206568a^{2} + 560357439343143795229634226776a - 553331442747528821525372439680 )x^{41} + (300150636665529627024519597044a^{2} + 389167411591312910025388994288a - 34335488595631422625474553896 )x^{40} + (222729537922897008439871717136a^{2} + 216550013724575280143397871616a - 320054373599450487619827110576 )x^{39} + (513838341381583403959313946124a^{2} - 488568540342417989790060481388a + 585497848307165100858466719492 )x^{38} + (281072572579578469459553900008a^{2} - 606371713163752096539268038832a - 71721449466712116244190343928 )x^{37} + (552733435828043096736755027188a^{2} - 155507545924630070115668362356a + 194033001469593463881939750976 )x^{36} + (401402094202827319204947371712a^{2} - 127855799202406143258461836640a + 174475863775295606565598052752 )x^{35} + (181755091032120081815311938996a^{2} + 206836030512062419436412136604a - 26188018983957185749701007844 )x^{34} + (153700220871708576303830946528a^{2} + 458531614473112622853002128712a - 153498085067076890477859995432 )x^{33} + (-314716033514263897129448911990a^{2} + 32117257393557137614785952230a - 115111980266030390184857301432 )x^{32} + (-196355507191168936753855646112a^{2} + 271177514544338481581530931424a + 75412720513721246383896777856 )x^{31} + (-312560898167093899348234632848a^{2} + 220296540374936138819124820016a + 474536921318603936852300818072 )x^{30} + (-392062033807311583105469238968a^{2} + 213135550817698192458516735912a - 262929481146161552634450746080 )x^{29} + (-229774109066094895560566314420a^{2} - 81657076191050035600867548380a - 238540392110673447986524399464 )x^{28} + (-237613674795919164544806040704a^{2} - 36873753336920822565604897056a + 196226631630053224592771646336 )x^{27} + (-367352130761848104437890464320a^{2} - 25605465735834401560883486472a - 272316317102051897105846296200 )x^{26} + (-410594149879166505640817797704a^{2} - 357605027197485005852841318552a + 532000272498645800545926157824 )x^{25} + (624184964574947166270394082232a^{2} - 306590370986596244468541382208a + 18364544858675336182347989848 )x^{24} + (-482848904767027605033094929440a^{2} + 592962021550001628716780990400a + 424192070858262877989221509472 )x^{23} + (507625118339781086220083684528a^{2} + 361332565154111136289940185784a - 247690934786242073615987300528 )x^{22} + (-86750359946030869580540499216a^{2} + 81884933726642346375478911952a + 274144848718317294294598398672 )x^{21} + (-473382024259424969394523502904a^{2} - 308861567079157966387741930976a - 206697076886180152880487143712 )x^{20} + (-352802503528234856224170681248a^{2} + 548553188490777939379859048624a + 175836356461476493311280971600 )x^{19} + (348288735196570129807440632680a^{2} + 27654957227439065992211482144a - 509158226264191923978415477768 )x^{18} + (286936589107248531618936267152a^{2} - 149703811929035892625218824288a - 258752723786416428684109447424 )x^{17} + (-513673539471860789455436536072a^{2} - 165061414446655619903851330184a + 3810962006893961080283454172 )x^{16} + (-128201530490843738399050651744a^{2} - 363087821177226967214626692128a - 473599955339406627972533074528 )x^{15} + (-365406736834224941757222751904a^{2} + 281125440689013622892355000864a - 485234905051187132844307509648 )x^{14} + (133648575353722259962381484448a^{2} - 165500559311429498666708813648a + 378337114511031606054809581360 )x^{13} + (612335642483236072127892451464a^{2} + 284251341568344462802814305136a + 632540834639205393361164708256 )x^{12} + (514311503815129871244007747392a^{2} + 210882279733129159619547511648a + 279229086386094971980436588704 )x^{11} + (324534786644962376480910594264a^{2} - 342035968794741652899608898672a + 87286717498369601507242354736 )x^{10} + (-628218963446500970959192780592a^{2} - 187154440427185848739608139760a + 195998419756144484374265475344 )x^{9} + (3802993144290923942444215144a^{2} - 382247207805445063429784679380a + 316872549963119473103802698944 )x^{8} + (-490096739907852852236887305920a^{2} + 152547045329146721614217083456a - 536048668544367670552835843264 )x^{7} + (-69714847830380267934455326928a^{2} - 4159435006537761362224232624a - 534274012266949221621368672592 )x^{6} + (-618720689813222305227925346944a^{2} + 38147628626349133718069439808a - 233241032177665780317233174912 )x^{5} + (-227853882118354565699228517728a^{2} - 307458414142406486545315854472a + 179347097006168473642653865568 )x^{4} + (-522366293892595246584677735808a^{2} - 347224867724454595879219264864a - 26472153497476287911345003680 )x^{3} + (-479605118842333599577909560016a^{2} + 564283456221837786102197291072a - 404837068950909530812884767472 )x^{2} + (-355091304030226728555121878080a^{2} + 524637699084460910023951590288a - 631545654830189852248274492832 )x - 572217473456176378408170668480a^{2} - 466264550390865267387756638036a + 577830652417142752387549640104 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary