← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (-301620857068253425407569189660a^{2} - 504524390080372365371209500908a - 338114861202017155818586113608 )x^{46} + (-136999736865134521563243148176a^{2} - 497456138876302317065606407288a - 612689305835219669484687704864 )x^{45} + (-489410513692613486267441337688a^{2} - 49044397212862604945245848756a + 300096419066634484534396621488 )x^{44} + (261762778542649610291677839768a^{2} - 79082298116888354800911001216a + 284733446072433065444568312632 )x^{43} + (-599862072998032120636814999476a^{2} + 409006359132656035525855763980a + 131509501605646076387266035800 )x^{42} + (-254046080952786082667792698856a^{2} + 477146114878142172124779037832a + 474139446773483742963795987048 )x^{41} + (328078113960226894728553651820a^{2} + 8189323847305732836915779500a + 81467380846619550279133820072 )x^{40} + (-259682031983182036381530075600a^{2} + 528098349194148683227976233120a - 314069138894567381281943130960 )x^{39} + (-596611195488578436613771714356a^{2} - 305933155530552108177571196796a - 520434017011271689518513056332 )x^{38} + (270516106869675736676910224312a^{2} - 132366302935940078743569608672a + 263888688191200736393646546008 )x^{37} + (-430249915422026380027204021612a^{2} + 533015739806987866595845667828a + 373746520877775042725276142344 )x^{36} + (240347346531785940031815619616a^{2} - 149395904446399939859106635232a + 573142456577999695755098164208 )x^{35} + (-342757940818102402950956584164a^{2} + 17786427521398064208891867852a + 477205468719479924892881989164 )x^{34} + (-549004894512903474418373856848a^{2} + 434860266561336875106559862680a + 20567739344516536208382030600 )x^{33} + (183742265715685162439485925522a^{2} - 372938082646321798993563996386a + 343269710345251443918296198060 )x^{32} + (127288938183481667338324438752a^{2} - 581598083200088268477591416192a + 48092346073693311927561753280 )x^{31} + (-17843296228850685117557234432a^{2} + 431634678229288517465891751792a + 47601067175245780810172943864 )x^{30} + (-435693181835394036906171220152a^{2} - 489872711394582768453812541304a + 463298381931449642034995391264 )x^{29} + (-97034185508059671540840011540a^{2} + 535949202165555115916091670764a + 121716186197255754425710658816 )x^{28} + (-287817381022297741964185649728a^{2} - 205111734812086089366470076768a - 90596555277975618985179982880 )x^{27} + (-21767368957743092656192763744a^{2} + 212644634103643517474652095320a + 381098227162990366646486779736 )x^{26} + (586514481084715670479394922008a^{2} + 534503285722984963885310369368a - 305327374403642717071340874736 )x^{25} + (620496793443185463353099673464a^{2} + 272272784923196914236495521240a - 632546896620586692052495911944 )x^{24} + (606336431699582330969060182656a^{2} + 465350116114125028160411630784a + 127624068977850390801043846400 )x^{23} + (-110575775434763469093418036656a^{2} - 573208293509061141776703390232a - 181790516556480281324138158912 )x^{22} + (383785089318469932366093448016a^{2} - 616467675518993297431814701296a + 58538534897620716064043226960 )x^{21} + (388342086498476146329259899008a^{2} + 595792429135292387232210156776a - 508299032885704084133160830168 )x^{20} + (-570636241487709952708293287360a^{2} + 270131986749462068306098147536a - 629557394805306813414455098320 )x^{19} + (558901807612740104433568540056a^{2} + 117910901258724136277117734112a + 542411778423973479458751475592 )x^{18} + (402709286588803884063078213456a^{2} + 411935687831913130273586671360a - 297847860572269136884411605760 )x^{17} + (-123928615828397941363822849232a^{2} + 429991784279633580236341851616a + 471280063688268628460946924084 )x^{16} + (396861422495676470660771509408a^{2} - 496129905645119273127757023456a + 277197441479095314141133792288 )x^{15} + (562079900370100092023704712736a^{2} - 132428333203849278704150266368a + 618511787033348563475171020784 )x^{14} + (-169898330043782924695171712a^{2} + 134032474308586099870019867280a - 377454391761298881517991117936 )x^{13} + (-45861304951963450744310505736a^{2} + 509164020674591819641465177952a - 601425063203001811400453097728 )x^{12} + (-22470599816164240952860969184a^{2} - 325859864471371900408982068096a + 241773966878179611302560275360 )x^{11} + (-165794263458741458715370296936a^{2} - 561580417981696124205931736032a - 209442046333594074948409108432 )x^{10} + (206637986139281238335757432496a^{2} + 606872670783642913900327543984a + 25603716735964597254204012784 )x^{9} + (-279330755926996312828407141624a^{2} - 412887849826273041632168463700a - 610994546866231554728421812512 )x^{8} + (265189192395505167681220199040a^{2} - 157529769549463561503396415040a + 580315309571981449568592620416 )x^{7} + (161074973259730415310789828560a^{2} - 56478652311449128254195339792a + 573368117149623359575603009456 )x^{6} + (-279149393343436981334209622304a^{2} + 90573036584579403090146042208a + 16142554324304647751375290816 )x^{5} + (564374879523500770414350470928a^{2} + 461746870095986898536331483432a - 95112621037472812677125997808 )x^{4} + (-52451161589938482807241915904a^{2} + 509949926707493227551206057696a + 581817726872714681724509276768 )x^{3} + (7842439601637234265716686208a^{2} - 616725475132861723706855272480a - 17530340803796873491404145808 )x^{2} + (126875218563204343565681648736a^{2} - 456357610026906756613474200400a - 424070888688176093612205855104 )x + 44772233326814276398692771344a^{2} + 584957637468424411536710066972a - 244522548133896756665401873480 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary