← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (-410039190644024426723921745956a^{2} - 294488913283076786641092812604a - 547797679901226009745439608520 )x^{46} + (535268320539695502977753598624a^{2} - 215075349386762468902950206904a + 370376717057555921554710002736 )x^{45} + (-285526920314862446908794353520a^{2} + 264636121117993765893382988852a - 502520672782730969396767360648 )x^{44} + (-581160388737357559256660790744a^{2} + 239827013766108464751344348096a - 404181009147206304802464682312 )x^{43} + (-525262350648790919855940036580a^{2} - 352642779763803392693531176108a + 245682774119233903019832678952 )x^{42} + (84464593879873516173275237288a^{2} + 123694307585515424691979683344a - 338654279913992298165035308128 )x^{41} + (-112623397383553841388707777980a^{2} - 594201005838998538733600336580a + 345350365552824853749331671204 )x^{40} + (138866896349298175132681413584a^{2} - 271198291879844014122690615840a - 130091895900467209072027879600 )x^{39} + (617838547667780268234434558796a^{2} - 306158655135730173906953622972a + 454776891230317433306460824692 )x^{38} + (-54618287805594975917012000248a^{2} - 543567947412294408610262372304a - 94748661220167274181102192808 )x^{37} + (-620235300108884382261113395988a^{2} - 58850077811100870525555065220a + 223909650526557666571132824488 )x^{36} + (-524740041675198583002566698816a^{2} + 620430555926354902748430146656a + 108518922602246640268965141232 )x^{35} + (-281806613556343306459988612628a^{2} + 194322660919104961582760294508a + 537999578226424276646976175036 )x^{34} + (-522586719531937251437236366496a^{2} - 339648719712017015659048048376a + 519876186221399836222076663192 )x^{33} + (-339175178106518861545604261442a^{2} - 308352939421621859974986574874a + 362473722281489569171331402032 )x^{32} + (619121263165620958718237281536a^{2} - 675016537038962014269273856a + 584898973513454907390773707104 )x^{31} + (30755170650864897150976853264a^{2} + 153517743934429922589842184640a + 206699155976133315331433261448 )x^{30} + (309220061214940926897463863912a^{2} + 285688461942255305497884541032a - 317827100716758642449182759968 )x^{29} + (315927401909931009376179691316a^{2} - 609963963356906372928723453916a - 621923890648226010141475830888 )x^{28} + (-404729267561495243451487223392a^{2} - 489660551611812033471452689952a - 397049267392906816269999826592 )x^{27} + (495986436688591637372201989072a^{2} + 423837377964350471714615539608a + 224683262630024421623246440440 )x^{26} + (592689392120046229895965178440a^{2} + 213801044114966394885665356248a - 120700008857577876373318564736 )x^{25} + (-476941175063144024242390532928a^{2} + 482889017904795354652198295824a + 375553241744561781369745068152 )x^{24} + (514942032028556334236601812064a^{2} + 394137807337504309626253127072a - 352481108315644452435271570976 )x^{23} + (128766184739847870481617801088a^{2} + 530073533981913660792073725128a + 443703242878657078222918177536 )x^{22} + (-461532338761996348618377859696a^{2} + 68983104352719686859859284944a - 321551641795929189092006649968 )x^{21} + (316472945734808888268908154744a^{2} + 259580676171092577573005924048a - 283125881772364557035483168552 )x^{20} + (332616115293961268505309992640a^{2} - 18302187760953156334215160784a - 3766048762341935380856458640 )x^{19} + (-113444463417828942288915588008a^{2} + 16438831356401369370855738368a - 321348947258030586154481178248 )x^{18} + (81753984978200241480831212656a^{2} + 616965152762566304974146454624a - 489777034657912338846664962016 )x^{17} + (325684666983745736982442754584a^{2} + 362556655897764812681441340712a + 542438269094283122556706045364 )x^{16} + (324680238755109643438788067104a^{2} - 620074192008691384741234144032a - 540627142657648550056714740768 )x^{15} + (-489216394037631191201774198400a^{2} - 217514689399976153660889099200a - 373198600724056508139465372816 )x^{14} + (58177056880695094412356045856a^{2} - 141670031490822816871855451248a - 163057660372433973230458563632 )x^{13} + (-406747804120058223452821124696a^{2} + 130020424266058365456312895040a + 562657143183535963777527339984 )x^{12} + (-581383168858887180783474258592a^{2} - 401638421635891769457159499552a - 102613001289047565707698966208 )x^{11} + (-76792806180889253045128263032a^{2} - 109237239313796490682554233232a + 394235508557428626927288981232 )x^{10} + (-118048581020068347633909988784a^{2} + 105593599298314688659876230288a + 131696647989385942542086777648 )x^{9} + (478739752589928936867366796712a^{2} + 444823591038095070826361276924a + 234909488578353076624724877616 )x^{8} + (-616456975214890087915545084352a^{2} - 181711201655893784919286425216a - 329894337613171092905037360960 )x^{7} + (-171689140559035712316437261904a^{2} - 133387197415436804824691268400a + 488613197218311527106857090640 )x^{6} + (-102339668207962843554898715424a^{2} - 609215516369102650615311663296a - 7529402234643789243389043680 )x^{5} + (187318297984671312507321945312a^{2} - 335203648374512917133859799048a - 572314304288223476963684412992 )x^{4} + (519206658320824671735781392384a^{2} - 127511779590019000757836849376a - 162605918867338937666318039712 )x^{3} + (-388287692870394915444219488912a^{2} + 475622770175177346839287767184a + 81594734674964301925347639232 )x^{2} + (-156536355848313210967124037600a^{2} + 52384110684794829821831246192a + 44760772219418406975977750208 )x - 622173138648353366866603879632a^{2} - 611146285248441922276726405252a - 142179173411831194637800146568 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary