← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (590515399822572736925767259748a^{2} - 56051975224935592575892313844a - 234701122201158474180167199896 )x^{46} + (-182306621382429468380847511520a^{2} - 192139136163839613692049977928a - 406568676457807350469567794352 )x^{45} + (242558224444632558212842542688a^{2} - 46914553104686165229547425540a - 130132456943160910978437733584 )x^{44} + (-193843169697515634963905699080a^{2} + 557092066995527753287878630576a - 532489210483721037041988776232 )x^{43} + (-224568274464804611222667392020a^{2} - 424652348053060351864408652892a + 91396796779636399941859596312 )x^{42} + (-229638870720492912350169256552a^{2} + 34115518024143153843237159280a + 149132424393144503742625548616 )x^{41} + (66380691470902427213100221100a^{2} - 572392620121873102566857775032a - 61755788629360792473194537284 )x^{40} + (402707178662909933314804973360a^{2} - 22414867726639259848855505472a - 474890084515938091622030455312 )x^{39} + (448883381834311707500105773740a^{2} + 620519316576635451591087839956a - 92297469292067181552020641404 )x^{38} + (-540842636275155799400843779688a^{2} - 307221317846495747783334053632a + 303978819146792065428316181224 )x^{37} + (439581097709919852203312522908a^{2} + 543521406539346593207875272068a + 143290668702512226457991865424 )x^{36} + (91871540812512130410940280032a^{2} - 289583190423186407943187750304a + 146886977102769662176407917136 )x^{35} + (-594659937664140850241448746172a^{2} - 416442297455650799274064213508a - 30995710202584164053953025796 )x^{34} + (519904571141477524066347899728a^{2} + 542226705975608421384581096120a - 167659654317884316694461048504 )x^{33} + (-98271189292341903674801978962a^{2} - 89143762338719704420394320018a - 280686125623712471540334269092 )x^{32} + (9902029677530327164624935040a^{2} - 370436535307823486117381780896a + 480340944822618630954332968544 )x^{31} + (119410745222693011126913334080a^{2} - 99989562010326854564063742560a + 462049928628316007464575583528 )x^{30} + (-381547407035032337332669505496a^{2} - 629584770451805231695923811128a - 262003047450689507631345328864 )x^{29} + (17003372631698977367638673524a^{2} + 530705506180684754098277456572a + 459873238003967080176651236688 )x^{28} + (-408595670250225839682304636640a^{2} + 123178892775321248317564457952a - 448685471228116552299350918976 )x^{27} + (415915746920506448108960211440a^{2} + 33542968751758061280185957944a - 821639643960883815379272104 )x^{26} + (197219057736900023924302855272a^{2} - 313001462441269677749550245624a - 132920537973232208784205624304 )x^{25} + (-591900477223118525981918897888a^{2} + 290001421909513065696691016136a - 498837640252357529824814948232 )x^{24} + (-583605516454924495102241989824a^{2} + 46279738852299694665377051872a + 423690556562274538578504126016 )x^{23} + (-194382914972677130009293669792a^{2} + 412108373574948569493569016792a - 632309476730071611956751015792 )x^{22} + (-280766123022290979739202050960a^{2} + 271343289095709848614651612560a - 613495620363226837162270934192 )x^{21} + (604201448403938288414368828528a^{2} - 493939267829143976288665912360a + 111841375489428529658153071936 )x^{20} + (455190970231068042984311842528a^{2} - 632437805533872928845589116848a - 227896471399788369882729349808 )x^{19} + (-526535905786823128767880696440a^{2} - 3275781281297254699577343360a + 394569093623197635716751034280 )x^{18} + (117486950259849232305870335120a^{2} + 620198019876921239069076181600a - 627706074321808301149733700576 )x^{17} + (561840613341930971897850097152a^{2} + 558132577912267841035711746432a - 458281326098257663875162752916 )x^{16} + (-302129028745287325398680174048a^{2} - 625884781481939558859108724320a + 59387901450448309949620606304 )x^{15} + (-26063986378488983669392800896a^{2} + 349019285710165276306886833312a + 328892766117170250334238575856 )x^{14} + (-358769377516485776577733242432a^{2} + 116147346549354926810886266864a - 73139381450217847825162814608 )x^{13} + (477761618597336342765910214904a^{2} - 141771546703149480171879274160a + 225436450774916627738516895600 )x^{12} + (-626667298747582876606103578176a^{2} - 225981829829408836505208512256a - 88408542911676633593248662464 )x^{11} + (-69405572936391017190772794008a^{2} - 225229653981197155159607233152a + 333194044854457344681351823088 )x^{10} + (-212036067771202179379673168592a^{2} - 189114989286451947386772138832a - 433612571009860967009319068720 )x^{9} + (-333246899351799168466119727096a^{2} + 370161241994659312104512510012a - 631301559888461454409868541616 )x^{8} + (-558162072741683121270145582464a^{2} + 177323961913390978378519717760a + 144323714183662728508622988160 )x^{7} + (236204585033943200739056219408a^{2} - 385369296799214544726963072016a - 136774483757793313686254849136 )x^{6} + (-516085040375229537395210219008a^{2} + 24254405058635377736932391968a + 438987106912742544262023755040 )x^{5} + (554076443773788729902629025680a^{2} - 334078875492450268527811018712a + 26884833923293926012725155088 )x^{4} + (-202137675186329515726121136640a^{2} + 301492947513743860880891431776a + 331442978650070215017251906016 )x^{3} + (163183162121943831904164542368a^{2} + 45540187799037365280547367600a + 70431478715333554863529464000 )x^{2} + (217380235960629251815697581696a^{2} + 140559537799969161245355950800a + 343742550743109437070237979616 )x + 113079800055607929641804152704a^{2} + 588827110911057229312537477068a - 132525751828791615224264932920 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary