← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-411676305475711667816568771052a^{2} - 162186849113181395411199022960a - 249118713098329221662615372544 )x^{46} + (-219765080574404739463011180600a^{2} + 408662497245876892420490402840a + 25167934217223751545644062840 )x^{45} + (186196387009855753472970529920a^{2} - 380043371720738426761396264856a + 144583485093922850019414575044 )x^{44} + (-472713812270386525649042751488a^{2} + 265368306019113748667481055728a + 30199085649925925417416302928 )x^{43} + (57268006928675003926248689612a^{2} + 589097178112937750472021354492a + 325414399668211056534582400924 )x^{42} + (-458275807354728527834935398656a^{2} - 235798475570042011010372122808a - 378842240899869579558248336088 )x^{41} + (261322786810541035027159748348a^{2} - 263603355499744198029891608440a + 171801440438994775692267630240 )x^{40} + (252457271396341140425747261200a^{2} - 543764402033094350967631518320a + 232639632046582929639482936352 )x^{39} + (-483006469346224816772158785976a^{2} + 549424138891463993130412111008a - 50552436572920403967640572424 )x^{38} + (-230711137312463925101066890016a^{2} + 176941891611968227012975083736a + 126583224254844285593023027008 )x^{37} + (449221513781198385884512995304a^{2} - 434161687769780370384763292828a - 573555868945371667293357210852 )x^{36} + (390165259597553477246412595024a^{2} + 415114864584168346780277502192a - 472393236443949329182661629824 )x^{35} + (18888055986203981595109005204a^{2} - 144304129750898926866782437764a - 218978202458423686573007445268 )x^{34} + (143637057249137696717608417456a^{2} - 191644604767659059053596821472a - 575080700539807575430132965776 )x^{33} + (-100654309445748797959856125422a^{2} + 232204184799023482911917998624a + 193038124763313611752064608646 )x^{32} + (306854959447584563605737069552a^{2} + 511446426780137084559388583632a + 68411168071542314748904228048 )x^{31} + (181345815154689806420318215800a^{2} - 121496871963788126591134860488a - 286019529893659185034628673368 )x^{30} + (-371090788763184008838459141496a^{2} - 471741823524857516523762898432a + 423553244562765677462846060816 )x^{29} + (-294392682628455152758740997088a^{2} - 340265175048328807818789543828a - 505468151886490792050331872084 )x^{28} + (175013404147489090761401553312a^{2} - 70558163303699905320484067200a + 338253304953133731287285044256 )x^{27} + (58261231358245715620860653192a^{2} + 556339619043562223094511264776a + 107449454996709312949700272096 )x^{26} + (-394352161570263860281909225312a^{2} - 29836627141397454768116806144a - 48553732416160095733896061200 )x^{25} + (34034083698504050955291106340a^{2} - 165701876024134963537920073736a + 118754198583061343618254101792 )x^{24} + (-225338426655491570544328735104a^{2} + 383283445401983204154846723488a + 43629353978583251194226766480 )x^{23} + (341148370107242613025341164056a^{2} - 331937941548879610704498434176a - 350786282935684600495006166192 )x^{22} + (-497647997157857568981289811280a^{2} + 118501785093244034634871350432a + 234493009324940542852318255920 )x^{21} + (383554534911695137102239856664a^{2} - 260900562143828273360430237432a - 485515897302993627030155218664 )x^{20} + (-248764535683495682426475988832a^{2} - 5753503809626326413557980096a - 19803410562706962044934303776 )x^{19} + (-432227629097541998632467225000a^{2} - 209164144108279316204320611768a - 485897561623960464263594073536 )x^{18} + (-140175374475907252248622422784a^{2} - 542924032103902151029414764560a - 11693508376066382188985536272 )x^{17} + (-79674161925926361176918554396a^{2} + 67778489272155246990664765148a + 633245670967586642951291429496 )x^{16} + (279477901246228878831868138560a^{2} - 481817513637772437545987798624a - 31520517769588740412252702720 )x^{15} + (336162170595673757305013428144a^{2} + 197332332366020594050507416216a + 458562595535888212419091348048 )x^{14} + (428611900698826000487302433504a^{2} + 312195264628764530605331491856a + 337222543639481290045989794576 )x^{13} + (-139956746754193450244346762248a^{2} + 286963494756295557222893998816a - 410068254029910986934671197600 )x^{12} + (283042176605914568023389438848a^{2} - 188013048984880187629413072608a - 113043478355533789929245217056 )x^{11} + (410448870227737092894654419128a^{2} + 44427917158024432262565394392a + 43585539955063561064707528824 )x^{10} + (57654093450184549656729256992a^{2} + 51182276047879946968936852320a - 601916790935246723430756985600 )x^{9} + (-485629938975643778122448542716a^{2} - 479214642595813266348817244080a + 467849380087239512864233614500 )x^{8} + (114890658759856697511155364160a^{2} - 193839952532490627247556427872a - 410332867795183208530347539520 )x^{7} + (-414246801168168474555586528160a^{2} - 225450912897577924568775350208a + 265329394528672419051677597936 )x^{6} + (150457916172636602255367856032a^{2} + 557309260492821928251712746624a + 324363116517451471383209891616 )x^{5} + (-280442544482622929366135897856a^{2} - 268587414293468626122738773000a - 439465049834864316455302698328 )x^{4} + (115935656126302363807319718848a^{2} + 464174319600087822024286610816a + 352588257469861846925773451328 )x^{3} + (595064698176865120236158376608a^{2} + 297667974013298382034172507056a + 217646109434901489370618489504 )x^{2} + (9101265485686114789817203328a^{2} - 131419600971165591743230288800a + 43022031616988648601007270304 )x + 575133996516826445702031186248a^{2} + 75337672644246616034411098688a + 608660331436831757098251159132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary