← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-331571444041492205216802959636a^{2} + 185199125122081029762091990304a + 298444814699519692701357477384 )x^{46} + (484184656949410049382131936216a^{2} + 437841914929073144953836827640a + 555738860438737774106163080296 )x^{45} + (500121731346954510529698492072a^{2} + 376878075494496761950600484088a + 256385390068599032512470023436 )x^{44} + (-148527058096405241340870566720a^{2} - 21405309836709286405641717152a - 627591047358114554664444906192 )x^{43} + (-429240938150510846972578131804a^{2} - 464263385099765049585695142460a + 215666367651355224807662632812 )x^{42} + (-497722546126787485977096142496a^{2} + 82069971808024974130930943896a + 58599669133745674899041349920 )x^{41} + (39892803262045778688749358632a^{2} + 375225170536239741866669090544a - 234253938806298200995425383416 )x^{40} + (-523750859401152478591010375856a^{2} - 252937868030205874113592564848a - 507308690294809092963671371488 )x^{39} + (-321890942105205136407386955120a^{2} + 529698942878757740572343021608a + 264549942358436841376066356888 )x^{38} + (-523008680305259873963479520960a^{2} - 474432716707074612340469376792a - 611586345650913865387680949296 )x^{37} + (215587532039156315070634190528a^{2} - 253680457148418933274616984572a - 54593892559960429566819205884 )x^{36} + (-165781621980758002992985847616a^{2} - 423819539221938056730341233296a - 130777954731716324716316478608 )x^{35} + (349695422087538412846496731012a^{2} + 516955996431915397175184776740a - 150334539452742308797085062316 )x^{34} + (-95970272342222201767535977520a^{2} - 142299480662140469421989297376a - 425887215763642576271039732256 )x^{33} + (-436559403480859860180517006794a^{2} - 470177990874452188492856544192a - 623086900728725131679819265322 )x^{32} + (-520427201253588500018846184592a^{2} - 126772745909220993775338666352a + 51937923787750579853651609616 )x^{31} + (248205512883989094148514011448a^{2} + 503881720544278348569816775592a - 302569025354794572251095373976 )x^{30} + (475159246337869910966889680328a^{2} + 511547143617675274282048321472a - 416088132743405417733601897040 )x^{29} + (-442823285079439457303215343424a^{2} + 586616246015010778885913481460a + 407985996496351234092721888844 )x^{28} + (267149774670578283471275944928a^{2} - 207303796410301882805693767648a - 229972977858634424454450588384 )x^{27} + (-98787914678128494664348721232a^{2} + 152222029484827706378694519608a - 308398893022195732916311143480 )x^{26} + (-391015923474013992585357482496a^{2} + 179128937304580232879043607472a - 35928048901566520974721143312 )x^{25} + (136029468243102430204459763108a^{2} + 585440475875938152812250626520a - 151740666908523086872586224216 )x^{24} + (-196754550198206902841677736576a^{2} - 171724010252573368495965906784a + 112722102617539688690767398608 )x^{23} + (240902686493139703382272847512a^{2} + 305734743027618354264086708608a - 581459765545185144896319422624 )x^{22} + (-590486053548676010113886407792a^{2} + 578986554753782070729922653248a + 433557476157114209105583260912 )x^{21} + (-427897734763845208111962357712a^{2} + 234493244548441536572489282784a + 581530365561898226936849418464 )x^{20} + (417251364914246822844268441632a^{2} + 31514901639357027890108579904a - 629295892571382590727343168128 )x^{19} + (397915707603116711005621900216a^{2} + 261082837264654865241114514568a + 51354190684017158537178347872 )x^{18} + (-338605286981868054423395489472a^{2} + 488879161762771769617807947056a + 582431772297183527822815633104 )x^{17} + (154555622575632477561690456540a^{2} + 32551755284319474991335228364a + 378843000078844509127281365080 )x^{16} + (-441190484886587523100076484800a^{2} + 499553129296175130171458784096a + 628370779143112634131618799808 )x^{15} + (-108763663877230846164061287280a^{2} - 336605282031491513318394100744a - 605864082602235729179744212336 )x^{14} + (-83580591986933781361856799360a^{2} - 534571121555277799140144638672a + 529406455133253748253605444976 )x^{13} + (-630779856634022902718705098424a^{2} + 272196131183113843437912774976a - 332153445743566302927499067072 )x^{12} + (-336416472150833423921852902464a^{2} - 372402271397331007462509404576a + 158916440452757278314184591648 )x^{11} + (150318743420293570071639761784a^{2} + 582423591952992734697788092568a - 114313316669728363671326649400 )x^{10} + (610803656500694988792504250176a^{2} + 585174171330466086865287956064a + 61311791408291199967984523136 )x^{9} + (-309996503128433841879687856012a^{2} + 472191455008000167798031936192a + 92516036349022919580458412980 )x^{8} + (-459540070931586863238464386368a^{2} + 550551951519406463922395938400a - 597742707088957033391231515968 )x^{7} + (-44956848107335802140320745600a^{2} - 96623592038995031279509010432a - 120691913125678899999410695568 )x^{6} + (-3687919956873809505539738432a^{2} + 222805413388373773904919928672a + 73322465175366282456965802304 )x^{5} + (248272846621519751275887140752a^{2} + 134140930443055306291618383336a + 326763504308024533049530918584 )x^{4} + (-143345608761163941572093900800a^{2} + 510864047256997002165100553856a - 20666312669528590400541825472 )x^{3} + (-334611841029179112107813156288a^{2} + 510312755311364837213964648016a + 470063451047373892018966483904 )x^{2} + (-62930217634690321107328652704a^{2} + 587542338175825411937615338080a - 535303583277669855672104463616 )x + 51643050618556723949425322136a^{2} - 85937386690109509565583985296a - 601879228338882778199115414468 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary