← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-163191430165811224330349963068a^{2} + 160627997746303977690564485880a - 348003969427330463276707491304 )x^{46} + (449616433914770670396509641256a^{2} + 617002649776006067279936939336a - 218154774261928924921182674680 )x^{45} + (-258819134613809302305995560760a^{2} - 267873521943227054924148744496a + 87109971739365821283482455668 )x^{44} + (570228409874073452209491677376a^{2} - 633300107575788419979563761488a - 320833616243618481285500084240 )x^{43} + (-449239009668249049591326651900a^{2} + 521869377948195586784940525668a - 110895118300405557219651555468 )x^{42} + (-105323892130635380182534643040a^{2} - 386831389681985370937405098272a + 560490951315957170511012558520 )x^{41} + (-436366553680427188682138950632a^{2} + 69782188361918460677431353900a + 302186075510835548057884497272 )x^{40} + (229183713223860734444253108784a^{2} + 492722465401957555058047982608a - 16526319882509258347487483264 )x^{39} + (96421586845809495614519457536a^{2} - 199528139164248795610347608704a - 16019561309476448215642348304 )x^{38} + (-276821567924346031092297660912a^{2} + 89779515931540830167870186792a + 445599311292659250508347451536 )x^{37} + (-162165182869019886264839734048a^{2} - 343492452572155461846635124996a - 554726760842561856528615920796 )x^{36} + (-314460597755861428966652066640a^{2} + 52945311853302189065625910592a + 101309957546075319995215427840 )x^{35} + (-10890335458502390518005816076a^{2} + 354252210978450222875858269372a + 583458261839745993281311558164 )x^{34} + (517535401099096408315076315696a^{2} - 234672891304671457576121721744a - 493446667347438011172159888208 )x^{33} + (-207490433037834894799276563978a^{2} - 177609989208280712374108110076a - 417242840129727009846627671170 )x^{32} + (449799848613003991484594849200a^{2} + 546590794201654540644595610448a - 73027052198861576673634098928 )x^{31} + (621401683666814685973219239672a^{2} + 464805423698698388647296547128a + 532948445685596682345979377768 )x^{30} + (-43642143801134096274987494552a^{2} - 581665154401527522558070816448a - 37963687878062885000521512720 )x^{29} + (44205009898735345681898906616a^{2} + 210339896729499636553150809092a - 66587541093255323865792485420 )x^{28} + (476775994940758338755740515584a^{2} + 276658480696279753833595090624a - 531366765956507603415253257856 )x^{27} + (-330648448133707512729037954552a^{2} + 481224709830547383429976595976a - 504835484718582269719446742696 )x^{26} + (216013721262962976685916893744a^{2} + 335274838436035867361714501632a + 191353628608860687291635291600 )x^{25} + (478945172643220124800923118396a^{2} + 544134008859456528278625975512a - 600727346409316270970374114240 )x^{24} + (164609998633882502638648070144a^{2} - 401874971721951510099886391136a + 367380839787135168548299688464 )x^{23} + (353644791432938159192051545800a^{2} + 469609851761098097450426275744a + 586535041053776983684844406544 )x^{22} + (-501035959092333115979595105264a^{2} + 558112792260568472202228194656a - 190425315624155768543369004272 )x^{21} + (-442567166003207987202901198120a^{2} + 144457657087427341589266067752a - 100237173684752497323389143264 )x^{20} + (-378678221970798372774861755328a^{2} + 482389184854211028059986781056a + 613283014606144377087185903584 )x^{19} + (-183797383377263534936071183320a^{2} + 18705904016117434147323930072a + 232096092257729002947596291024 )x^{18} + (192356626256109108143759335520a^{2} - 9336136538102472713771839216a + 148098414095672368225253755472 )x^{17} + (-72542352109389312374985006212a^{2} - 357205969279257115730181991212a - 160798805916045659334609007112 )x^{16} + (5862398686563332937898242240a^{2} - 520867283288989385403406719200a + 559120724146010720264587321536 )x^{15} + (240452129456077251103305006352a^{2} + 611163690963018066315331196600a + 507044512312030835223282571632 )x^{14} + (435345718064098217612227397984a^{2} - 529361945523256954222267936208a + 96356740528098917773990677872 )x^{13} + (151883497527305751498217725048a^{2} + 225285585751367979625501711552a - 226491928094781470545374330864 )x^{12} + (421811236885488041658591135424a^{2} - 174357594783668522146098663008a + 439309078203138105638260680736 )x^{11} + (61228091085841242868402345368a^{2} + 362689406006430488605185519016a + 160129165125402636822523677688 )x^{10} + (-403883017945125219751925763488a^{2} + 193956477921886691651927043840a - 460576604304201611564751524000 )x^{9} + (-466716999219466146277618512780a^{2} + 157853907891293251148469049232a - 502318489651146872369761967948 )x^{8} + (-408214927273145182080947727552a^{2} + 428499899274697115607051665504a + 96167075396213047935133347584 )x^{7} + (-611101386177930422385320576608a^{2} - 264357483653081423315289195584a + 180787472929495383845362523024 )x^{6} + (62119336979602850724527063136a^{2} + 34097373233447959640156423488a + 554905472883875023332252602432 )x^{5} + (324580716026906163887876671792a^{2} + 348429202542823831185345809560a + 558723291038884054814201446008 )x^{4} + (-90433687491232068590185153472a^{2} - 165187104086064515182902074816a - 105528939522470564769040206208 )x^{3} + (19108559263882113264585765408a^{2} + 72040222415255816693794034256a + 328337129629624232952076611520 )x^{2} + (-287179632939632538070132066496a^{2} + 101245939166626419077610039584a + 387052591638511783819160218432 )x + 213225862819203032235401269624a^{2} - 97071220055348562723523714976a + 458794719629343765714697597916 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary