← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-172065732410179767067497185764a^{2} + 621374149645637730368008206632a - 531274211103843476919101057712 )x^{46} + (-86085614938188742607909860296a^{2} - 450327931611541355043207567256a - 530403129378063428789020451560 )x^{45} + (-152718467682113660941916657984a^{2} + 519358482332349114125611867136a - 191718060165819935101501676996 )x^{44} + (351305067510351256101406074944a^{2} - 536525645943969185795522819968a - 296608167629728871010209016336 )x^{43} + (-171518117611038157375576611300a^{2} - 102699679154512750397949680884a + 633103446468418891804055642036 )x^{42} + (125163393201117246186803434864a^{2} - 533820430024152749188273334624a - 194296106158678154606579982448 )x^{41} + (-253263546198470709754650521644a^{2} - 243142497841499693281142096244a + 131261967337008601087197314096 )x^{40} + (-542957062185887254425382024656a^{2} + 133877782900662175145231086416a - 315932971711016781078864581760 )x^{39} + (469170610093211003032704931320a^{2} + 127543739212279356908663647064a - 9078536487791784597352781376 )x^{38} + (-442593636422426090986837468496a^{2} - 15332831794932717053264009352a - 614074775559266220618125528992 )x^{37} + (117017267188985504656046074744a^{2} + 487912463843873477847745857948a + 51978156739346021798239917820 )x^{36} + (-586452835959264753928066057248a^{2} + 530448827417844944608074123200a + 359105462467337766607228787632 )x^{35} + (-461639252448269515987383311420a^{2} + 227717007436757226191541457444a - 309136642482208427698678709652 )x^{34} + (-148547844501336286401079214384a^{2} + 434187059714123151748959586960a - 243278194519215388755658436768 )x^{33} + (338265923285619514929491032362a^{2} + 553586360779714368116694811916a - 326897105053549909552947857314 )x^{32} + (-311456624274424606410088470096a^{2} + 349760823724953440365419718864a - 420629992711542554115015614640 )x^{31} + (-559875662750361249273951463656a^{2} - 150547852184348318674080204248a + 498438013815460105550796385512 )x^{30} + (246609681927325152355829369064a^{2} - 574799423441600817088177544704a + 281091103669436971800870379728 )x^{29} + (98978964880813975633109122088a^{2} + 7508638073647451245901069228a + 141440448362251471453379669748 )x^{28} + (536870905557541657067399595136a^{2} - 94283597220167511035442097376a - 39132185923333590524104097792 )x^{27} + (-108738767368726222171071582672a^{2} + 398070073474438737118858231048a - 63269556718700832662569159312 )x^{26} + (-548040278348401251772447999024a^{2} + 311589142212561573154372204560a + 99924712641509306167465845168 )x^{25} + (-3879520903538630892440908740a^{2} + 335838505776524695659121598536a + 437553643512562352116834603496 )x^{24} + (-551295786481141962853404049024a^{2} - 307589042637119833929790420960a - 67285198318536066712738553008 )x^{23} + (124907068865226685188194894056a^{2} - 481216192458905911617070222912a + 494847284102954125557416038048 )x^{22} + (38714699709982738836165569584a^{2} - 88707944746441741259539786496a + 312212141340234739178381652112 )x^{21} + (577357356057933925782552053136a^{2} + 154577438641740437613308678304a - 119120794494225292150728578456 )x^{20} + (418885446354770561127671268864a^{2} - 40261989717861204255185876608a + 625765966968274828403946438976 )x^{19} + (-112180675421001620773631168952a^{2} - 308272271600829830492612695368a + 589947760531800714345648870000 )x^{18} + (362168643490778966129824876320a^{2} - 240394975341253831981920177328a + 122544282208422409527314289744 )x^{17} + (-212835213841383715328599433708a^{2} + 125447636843701528255062313588a - 185624895992760164599452550696 )x^{16} + (-41633075807806977749021115712a^{2} + 347147622993199751497229015648a + 382554827666192665653087058816 )x^{15} + (275781645652365360043626979120a^{2} + 518060046707568766636466343768a - 225424763686196350317419341584 )x^{14} + (-579570491804437197380965175232a^{2} + 359223498629634778650769778768a - 626020174412930906248194616816 )x^{13} + (434373921933648516411359390184a^{2} - 73080088166721679863571093888a - 383758496984945709508926508784 )x^{12} + (397787546428263097137329108992a^{2} + 485169157431867822841930237792a - 118580351959740283137120406176 )x^{11} + (506353280238424492639647082232a^{2} - 181990993304337058449091794520a + 211965960457033581448313179528 )x^{10} + (624509118927977332334563728192a^{2} + 29992542301354121889628187456a - 45106424350373670614300788640 )x^{9} + (-339574836674534503007638045532a^{2} + 445762822321779993278334713472a - 185751363834586290771828028188 )x^{8} + (149795775128589107869050101824a^{2} + 106311603490319165119867153696a + 187068214429861314787362269568 )x^{7} + (132976125299258797848150357056a^{2} - 57100599274084249850822918912a - 400736799092048874919095655984 )x^{6} + (-576542154141089598934392798912a^{2} + 430741085871978878056408918304a - 69260120553680299573723500768 )x^{5} + (-238033214230403277814489340064a^{2} + 564766194633261203496269639944a - 91387366330921140563372664568 )x^{4} + (337421827818401351635313067008a^{2} + 253970747071437063805569819968a + 290435421762274886066908216704 )x^{3} + (-15340517927307954760122031968a^{2} + 128005349396935822694837271408a + 255270558792324335551171142528 )x^{2} + (-110815992602265185671830081568a^{2} - 287571565707967757919355383520a + 363659715645544486683267378336 )x - 22004413804785873180680411832a^{2} + 499574509883025321211295493104a + 356964778361709749325298374236 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary