← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (346576412529894982894469566196a^{2} + 205276118738002285141732887996a + 37975353000452666369880243248 )x^{46} + (-501799694074473098787594471984a^{2} + 190330562610392243849501803016a + 85404392680094386164900431216 )x^{45} + (377714100991954417058700949672a^{2} + 250677029581342512191137152148a - 266737345492700410920853441464 )x^{44} + (67609241545578131533267080984a^{2} + 610980741810058770918378965328a - 363705997769754143754063975032 )x^{43} + (-230520786820709634424267295796a^{2} - 26738317506390833264233124868a + 247899292177398627638985318512 )x^{42} + (-161392905716888313673706216240a^{2} - 456943085223499503300377159808a + 491790947864711088707377921968 )x^{41} + (10557013329261477274478580420a^{2} + 42729713848282389437033662160a - 582284116945294425419989482660 )x^{40} + (-287618225152993667010593628656a^{2} - 624614168600945009846980943904a - 482471675475464300871272092048 )x^{39} + (-200178665596095731614551030292a^{2} + 122738544869932675279264474052a + 529574736348876986492726230948 )x^{38} + (155815290161613619216532291240a^{2} + 593878159519792934060589143984a + 274049524671195249131517856616 )x^{37} + (227113132823005669253659167452a^{2} + 269392932278041482499925544900a + 182202369272448108925548278056 )x^{36} + (-633088173589635809323993858976a^{2} + 376059076802956931679172336320a - 128918004213015413225340646640 )x^{35} + (124581733125607411327262183084a^{2} + 403699835077842048730233187652a + 81024649752622293969288055884 )x^{34} + (331100221855743197264414385792a^{2} - 557909735222728119373960455384a + 296719482618778381474016766328 )x^{33} + (-378370945013733298996084694006a^{2} - 133230363690145803149977329798a + 167245192441505188651109255944 )x^{32} + (195973054032105495975141274432a^{2} - 625624047855633908446889186720a - 330158584003482548861411361312 )x^{31} + (53639183825580042173220599984a^{2} + 482555146444965787344395600944a + 210665922782421279759222854728 )x^{30} + (150843153158115297660875093896a^{2} - 278909184969897437854089944056a - 85245882456201972730193299040 )x^{29} + (-544460539242884081129754030244a^{2} - 359069854013053816987448143996a - 134220526480031159835696798840 )x^{28} + (468030752926398382480581690912a^{2} + 171544100027144780084536786560a + 108041553150849081364478832768 )x^{27} + (-628279437225927511366889544048a^{2} + 290874943264947173280433822888a - 298729313615721129001110161992 )x^{26} + (-611559280873370730852404171688a^{2} - 561740090580768377659067695704a + 33233681350668282398438014704 )x^{25} + (-121966088207809866395619474792a^{2} - 596092525923982143021289203296a - 477452070199778194573648032456 )x^{24} + (424880055929736194247509757344a^{2} + 238232821465374176050694393280a + 586747844582231656779444872000 )x^{23} + (565376555385022037839111674960a^{2} - 533139658077733019172531862824a + 460048165589192775644465745520 )x^{22} + (-272282415839055436634676839152a^{2} + 335465553522961593114534407248a - 602636226184831281312335058544 )x^{21} + (-470635313267509554430147634768a^{2} + 283893399691891208411699544760a - 281929200580469621955241330960 )x^{20} + (-631398779390411106960292825120a^{2} - 134233078671419479407533377776a - 19305471899568184715373528496 )x^{19} + (-412837166815899471712805188888a^{2} - 32575192210171978116676493184a - 316104561549319822614938583816 )x^{18} + (105760580089100314564275257232a^{2} + 577231562893082298416161460704a - 456844184803221113540031845056 )x^{17} + (-422888772233591079665223637072a^{2} - 617760545043270856811412086704a + 161903626076504601815802047420 )x^{16} + (176950068117203544247264466464a^{2} + 336447755550618811351534981856a - 262534446790027992073212990496 )x^{15} + (42481752275233174900685063232a^{2} + 336275872450703578705122508128a + 70545731438730984353568923824 )x^{14} + (312349912887492082303397931552a^{2} - 290630390651054267084107654832a - 79454362430897200375154437680 )x^{13} + (107628961572361558325926384760a^{2} + 590636181835709038862322603376a - 293453211537315101915189878688 )x^{12} + (17157990081526640485725148864a^{2} + 291769308134502131837869023680a + 117755923799942397849774164032 )x^{11} + (561655372953411463476454130856a^{2} + 392351224807540575339614587232a + 608604728100298016432538232992 )x^{10} + (21918139513917220546607274640a^{2} + 324094975473278514713939074992a - 477020554942613677100324806832 )x^{9} + (-514424889052328265633426477544a^{2} - 463083682153556026259071104340a + 249684607134170634822144534768 )x^{8} + (415847184619764665743208939776a^{2} + 551605879306657721281063546944a - 8318583148771597031051990016 )x^{7} + (-80112335270974836817906839184a^{2} + 344224661035440137831025277616a + 60572281973153543054664075984 )x^{6} + (-240118275581635838630070658336a^{2} + 429921382385450680298116536928a - 446365780151363898440244059424 )x^{5} + (340800638380878073542448371056a^{2} - 586620490786172995702493177880a - 437096576112369073224681738704 )x^{4} + (328572802314946491146877737024a^{2} + 308167739015140476762422146144a - 612199226953618470311533182048 )x^{3} + (158349517543448577989304800416a^{2} + 524393532674063816498210187072a + 523824023812509052806692602848 )x^{2} + (574772716347211409385881988672a^{2} - 595933492120914146457019603120a - 19418705497595709728393526272 )x + 109029514590068471706382125872a^{2} + 101771379942690977494902252524a + 605096236218690512321958245400 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary