← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (220385680088522638749393862556a^{2} - 622515898384805378558609350620a + 441737937914116093722111962016 )x^{46} + (-573461813634822125447189970864a^{2} - 33012771965182350220021112264a + 594314235690483096590539771664 )x^{45} + (317113362832480524145450701704a^{2} - 88328360156520982071924360116a + 412744709250222410455999124208 )x^{44} + (166864742206702788165496243048a^{2} - 6682056905479188685196288a - 25396430666474821048008425560 )x^{43} + (79155085104100039677200845260a^{2} - 117562349823946780702135497076a + 592108194464015383621361829696 )x^{42} + (-250056369944004339348540022368a^{2} - 523009767573120914085670228944a + 375106334391926761963222896888 )x^{41} + (620331778181932894141435714196a^{2} + 126619732751835812734289936836a + 414717090484941006545879751732 )x^{40} + (77146924949964686604186426224a^{2} + 401165144237324314435616354112a + 278735912845015965993546295440 )x^{39} + (632883537654619522051028386316a^{2} - 616951185531506224518928785740a - 3257460231837184058862486028 )x^{38} + (-20425029016574177504363490504a^{2} + 535863319238679298026096150368a + 320013607434288957970831261432 )x^{37} + (-467018330206226027526799237428a^{2} + 528520449589294283305050828332a + 282604192427841334308595862640 )x^{36} + (507738088320352273696539411712a^{2} - 81657358856647509883900585632a - 570248042290820219111899065680 )x^{35} + (399263244395996057816871868564a^{2} + 561122419228266232206716055060a + 525189106353634329587828202988 )x^{34} + (-405531826475787596250497883632a^{2} - 64422450474803984687079038792a - 610218127268490043318764664920 )x^{33} + (-498413465306117804516067084286a^{2} - 187850233298351640325251593438a + 277424153276568472746490483788 )x^{32} + (-255377491931821102201030157504a^{2} + 183480717672925508210146159360a + 370948451800883154912652710496 )x^{31} + (352053143865381272681203028064a^{2} + 110876497710187201433751518000a + 433767291537262231739834899752 )x^{30} + (468536330351190932546176973448a^{2} + 411734915412828009053747604456a - 613761048977789393874619032288 )x^{29} + (141602918196815887333725656108a^{2} - 312889215614365395425005008212a + 494872725586201488146398722128 )x^{28} + (88889176241288167980031535328a^{2} + 484534690084993249692845237824a - 109647996565102962812088863584 )x^{27} + (3450207438233403357267876208a^{2} - 136945802917064783446787603224a + 425509789217223583841592739160 )x^{26} + (50155479153785055358129828056a^{2} + 542333706404646386648048797912a + 385144311083530434219994621664 )x^{25} + (-551647574479400231195643322648a^{2} - 41980748367365941155421013560a + 443036679773848896706747071320 )x^{24} + (175477886071691569310902965312a^{2} - 626958687365242002833626182336a - 536518339940416287284676171424 )x^{23} + (606524929870682923820319335664a^{2} - 527104314461657494314177258744a + 213779878427253696896109217344 )x^{22} + (-110330910941822512966454129872a^{2} + 556232328643118876907236480976a + 280654187649481051873638083152 )x^{21} + (96494504597612477525016707576a^{2} - 38906916696363337171639369840a + 164171855159186396005613057512 )x^{20} + (-295066633228832931142089906688a^{2} - 310671126306101825102453477648a - 240920216073612233866145142096 )x^{19} + (-533855218497489105315478126664a^{2} - 347900181320373372592125768576a + 8468702407140239789284902536 )x^{18} + (105177475431494241289601696176a^{2} - 166796148309035432569314100160a + 584228285557721371726478349056 )x^{17} + (216098624093304129693528214120a^{2} + 584896919470939632800661589560a - 474810270352397012455626884540 )x^{16} + (-214211370491484746051307728480a^{2} + 292245440918331858458405720992a + 354555935605664617642443054816 )x^{15} + (-88574036091340850950991926784a^{2} + 621525236882788074087549332992a + 135022719464311977103384933552 )x^{14} + (223364120926240338431505146496a^{2} - 559280567440212256960605609552a - 545242504903277917597310581328 )x^{13} + (461235179822956367611485750440a^{2} + 585065076750202484158024879936a - 130417300708660633141629691232 )x^{12} + (-182611092423913931196636415392a^{2} + 417959349308831738728347142688a + 230830371244458231435148611648 )x^{11} + (-24005493206434767985985357304a^{2} - 155794195797288463817312806960a + 63305319665282660809972213184 )x^{10} + (143479235030886439131170712240a^{2} - 2091211566406197684363500784a - 81470346635577811301314818768 )x^{9} + (-603247807867155671148914655400a^{2} + 123237028387601241212264458060a + 80058075850450822300524881968 )x^{8} + (470122693183568276260052260928a^{2} - 106083039304686955177268989632a + 156660863720700530955365574592 )x^{7} + (-112222319963451169161332409328a^{2} + 20588093977854577999777337168a - 465636760895759532233320248816 )x^{6} + (-187430609068550301288774629952a^{2} - 458980403126648344106396734912a - 214712140716054736005230109792 )x^{5} + (-58888534519191878867803205024a^{2} + 480107812019417780568690986552a - 409929498252208589107748117376 )x^{4} + (-610043704103357031101017571136a^{2} - 89753110037911432527018778080a + 417077585744354800793207588640 )x^{3} + (390844775880106385129029543952a^{2} + 130208089726468149711638745152a - 479185301441865967683077153024 )x^{2} + (341134342872029642184421635616a^{2} + 196821987652387655867704438960a - 458159882825967586692135815008 )x + 44304434497104791815107947456a^{2} + 218996495074942245257029224572a + 53414048640633495244355749288 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary