← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (-63989189108084566551719129740a^{2} - 356970257650014952597134893548a - 58613474368920745125121530848 )x^{46} + (-13838541282656651163354246848a^{2} + 17835622751067289911596617464a - 376912092599343868150554494304 )x^{45} + (-280764430584309778606843119776a^{2} - 101882596606758674938105456796a + 304530627391433196567697601464 )x^{44} + (-219483018129039018619742225224a^{2} + 29630211212220682412217640192a - 186686938170745019000658582488 )x^{43} + (-462863306301740876236401269220a^{2} + 618592906385696928179084754308a - 31782649001866372727902479984 )x^{42} + (-149448922007427616910544637104a^{2} + 122277279304377551758067426104a + 276208920254419948050829767904 )x^{41} + (-335194478185715524515437794932a^{2} + 554450393745608609280118991644a - 166752539466703638120700978408 )x^{40} + (243414773752900964340898649168a^{2} - 527984290781732353551734177600a + 598751620161538586121937013872 )x^{39} + (-325794806602626769652009424212a^{2} + 186113163194417744012716084628a + 3232271043814914480912546644 )x^{38} + (-209047257801433557255076830072a^{2} + 494145605154905581735334649616a + 230123817402031754340085074936 )x^{37} + (-148792464486225618952732763068a^{2} - 336991081802239355129427809228a + 621297891742284575134881657088 )x^{36} + (44817274949874732314736934880a^{2} + 526397661885090964070401712160a - 456839482398470355978062918256 )x^{35} + (-292844846346829417403884953564a^{2} + 297639821635079521629760178580a - 111259717691376769921115332484 )x^{34} + (395945913937602098000235646112a^{2} - 318344741675987060215812853080a + 389406812198238823759115844376 )x^{33} + (-170151956888692163164405793210a^{2} + 70853243467857201022284204010a + 318274273904679878360551917472 )x^{32} + (84185296760523397960226631456a^{2} - 157028266669168012504404791296a - 444845745574188224064397610944 )x^{31} + (-569708062756275664008689423952a^{2} + 82541138759436213902242772896a + 265228508888970970265565593240 )x^{30} + (-92347897671509571806897566552a^{2} + 101240648590319627836377792456a + 295559809618911565327409040160 )x^{29} + (242888291377607781557273616868a^{2} + 481255397492148791585031049972a - 200711454625797398993211074360 )x^{28} + (-75802027519762609919883686080a^{2} + 494538370965242784615280399168a - 283192745104873277833948310880 )x^{27} + (361264233514228682213291312128a^{2} - 297598678950654513459943614456a + 162354097077487500631822634360 )x^{26} + (-212530112905887321191081603384a^{2} - 317380663347876602787759926920a - 572731426725681416540159219344 )x^{25} + (323189265072348422353018933968a^{2} + 377842867826000867841445554368a + 268908478499843139289381162392 )x^{24} + (492176015147638731797538929440a^{2} - 189390019852033730856148004384a + 342625817470553831913662095424 )x^{23} + (629089131168118010401166522272a^{2} - 51207755203429199147878545144a - 143119111962420242798176298592 )x^{22} + (-335641760213765675635627440080a^{2} - 480344363626164092258452014576a - 612724659088391238775582360496 )x^{21} + (30686581555870971352261264192a^{2} + 580276938126092462316632737224a - 28319647009988297350309601288 )x^{20} + (-1043699422479783065610191936a^{2} + 542791894205890532966960402064a + 506211385748450025615524901872 )x^{19} + (178869195050694363088776482680a^{2} - 236047618300059184080484838400a + 422658336692301167758307714520 )x^{18} + (-32555295777292358580713790352a^{2} - 471587847048752700343496710304a - 36636380052614085271032724480 )x^{17} + (235862396258103441517649175168a^{2} - 580454630247072374280500132400a + 315541183560686751053372863876 )x^{16} + (633719592786785867055788475552a^{2} - 517224231799668683612609500064a - 478943295406053822304455072224 )x^{15} + (-560272322514406581299978094880a^{2} + 17147894797469298779628935360a + 472479137969347594661762145968 )x^{14} + (495921666285345324426193046496a^{2} - 481267695665068733976050866448a - 344032347862174874180570632720 )x^{13} + (344794008933010629678032732536a^{2} + 339514006768755065062997246752a + 93500839905788117959713021232 )x^{12} + (-268672063191750659097757226464a^{2} + 460163743197887439409682987584a + 94702345630185564685859976480 )x^{11} + (277063346899333704546934092376a^{2} + 463105029378619341660182165856a - 11724731902618343113984920256 )x^{10} + (497013483858807086906867567120a^{2} - 76017562117421807349215096080a - 379957706151930729057402015568 )x^{9} + (-75177516900550490011267549768a^{2} + 24433195768585319372300372988a + 24130099863455992622084901824 )x^{8} + (-484984861906172207730826037376a^{2} - 20194117259907948010500927744a + 431076118028821014452751053568 )x^{7} + (257554182206043606912835333488a^{2} + 393845546989527086142182840752a + 109105594407115826972254611440 )x^{6} + (-314769591956089134421280891904a^{2} + 492412057792503349893033340512a + 467563480091382093943328467328 )x^{5} + (-22749154149083720022017568400a^{2} - 413009413191175961911553087640a + 569044077533957068073371817328 )x^{4} + (-597351463690752903157938321984a^{2} + 405000130044700624668543950432a + 550089882223410046182859122720 )x^{3} + (461564983938490762597170589344a^{2} + 598289292328089610933916834480a - 599712464896100858964975190512 )x^{2} + (504778060084274487420540199776a^{2} + 281925644260539355660625085744a - 407201433826370379533433863008 )x - 132991713343975005582140233184a^{2} + 22006852699376095329588713884a + 605412340190557243082310238024 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary