← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333280423604603560100507204488a^{2} - 490945742596965285606428179152a + 137996013611097889077362907368 )x^{47} + (398130696333791753819521375436a^{2} + 106344533064712920317530224876a + 105988228645862988628769791072 )x^{46} + (606534786884860832982044767328a^{2} - 462090292234393403603555049240a - 126552724757576890378726262208 )x^{45} + (35338398749950165553095716992a^{2} - 79982559363010107008527882292a + 337733463566326816491321773488 )x^{44} + (88400515470016908076599975336a^{2} - 186554119344295346003236495664a + 291471775368552170802039781928 )x^{43} + (-318731576562918221086243958580a^{2} - 483440977154108516634075867084a + 287467995738929630892553068480 )x^{42} + (-610819771641706758442818828944a^{2} - 126901567984966734653211177928a - 201834520574371907081115961880 )x^{41} + (-456769609828155259024689689412a^{2} - 147390005801983737851447507552a + 55761540315828369618502280632 )x^{40} + (347646840323876422801637381232a^{2} - 47089491837163483941451078432a + 473914953546774235770563696848 )x^{39} + (-173853969997005876987023513172a^{2} - 235368656410466466164854998748a + 371899455956829212762607016260 )x^{38} + (402056373844234349143486525400a^{2} + 623023480221653628192380085632a - 553373592618753810499337926776 )x^{37} + (-166330620265539297629961077436a^{2} - 519125873343546213012109406628a + 436170071736693258643591378184 )x^{36} + (391555073735022592430194002176a^{2} + 529300244027071401911434365376a - 546999578250084737303074044944 )x^{35} + (-481739805791483780433095076388a^{2} + 137558288367381335264200101476a - 134166813089381018434577150516 )x^{34} + (206552502646574997672710776336a^{2} - 167603553211634324903717834024a - 212060436942342356157919771000 )x^{33} + (-450054844717832648064277360026a^{2} + 628132478996728234992847825138a - 530500504435530164005176960964 )x^{32} + (132959725649362134515816187424a^{2} + 591935349617818616725467090528a - 241629730793698122847324696960 )x^{31} + (-568797363807479230954575135808a^{2} - 509478188938454465938248347264a + 197463527364843970798190945720 )x^{30} + (-214422795277028320169677240344a^{2} - 382635094499148698533316551128a - 368860104759012265535601053728 )x^{29} + (-402273381694657411773082408844a^{2} + 321191753951265345160642984204a + 628048137575084025048115159808 )x^{28} + (-209941313303281392871607289792a^{2} - 140936212369269620538266394304a - 457891022745911645525434246592 )x^{27} + (292583402027123073159045296928a^{2} - 417704889931295868193709948216a - 363324345837223867567659068712 )x^{26} + (-577323048956653384257774860856a^{2} + 218699927113324293091643167336a + 324680010530865647686195265184 )x^{25} + (266395433141223321687336639232a^{2} - 47728264424222735214706216760a + 35529724864306288193626352728 )x^{24} + (-54000615637823571903679396736a^{2} - 20487694510375539813708475232a + 403567517049912341087401186080 )x^{23} + (-97810515749688215864389011968a^{2} - 124450464875918599549647602152a - 65690193991554640269662887216 )x^{22} + (152148297945806368443908245072a^{2} + 230017599690752679946846096528a + 63019389483651144164950338896 )x^{21} + (-299737351161744126936761247736a^{2} + 504336322573396034941662632128a - 438334844146228599669427376528 )x^{20} + (-484769453031398184388168733536a^{2} + 65575596616408507983020415728a + 247778125216424924507357604048 )x^{19} + (411429284299108773156001634056a^{2} - 52379042199527960153606269952a - 493780775836416799284782628088 )x^{18} + (623102940754746934998151550192a^{2} - 22802686002132815225257111648a + 496255187979013846325205485312 )x^{17} + (-527912976047356722384492754296a^{2} - 244181765401645374186918850392a + 547538319616401397612795736300 )x^{16} + (553895459093362574634280597280a^{2} + 347145399632455857981459042208a + 255599774493921821715315281696 )x^{15} + (456666269751431563128538590944a^{2} - 142505541143448409724119426080a + 179018451057918661506996591408 )x^{14} + (-192023972844594901955231772800a^{2} - 177222998656701466176070591024a - 381934030248117966579803898608 )x^{13} + (-182588185830121889224626737720a^{2} - 549883441539347058156140556912a - 633153384107199024533619174160 )x^{12} + (73585444815018570497265076928a^{2} - 424204685098478287734191728992a - 347869373922648029839255880672 )x^{11} + (-305480916884949560124953556712a^{2} + 360246304463490479515178749392a + 566022792958412662264235953888 )x^{10} + (-178983603652759736864701315024a^{2} - 141849184090846095828423194416a - 535713924826995335803691514800 )x^{9} + (479932048993509608386775805240a^{2} - 22181818732041602386688615780a + 5266884406480582909693576768 )x^{8} + (-598270222482612220652606886976a^{2} + 123357573074277169913497352320a - 399383503763481162251453363904 )x^{7} + (-276410722458521964283885660720a^{2} + 21800927885469432982017592144a + 394635973745048417283142488048 )x^{6} + (83526901848760347624554792224a^{2} - 108367840851315865114960653824a - 557096264496586212779467812224 )x^{5} + (47152383863675911411885680288a^{2} - 532639020706067330600146631752a - 7490241172639914313249315488 )x^{4} + (-241005719630286452520687774016a^{2} + 68226833675935743981410061856a + 267231718722688455531028806688 )x^{3} + (215165222551924268439281231408a^{2} + 254492827394481786155600277680a - 317911453562702272658575706096 )x^{2} + (-411505952345818554694095008256a^{2} + 594561806768163800433632623824a - 80259547053176595465736555200 )x + 300971581629998107226704786032a^{2} + 346574529837701188142539959564a - 360185425978310401808049179944 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary