← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-377436516916685005343384004988a^{2} + 454348320968572354844518694328a - 397603150587119278713668628080 )x^{46} + (-437077623915346134526271854424a^{2} + 173516589435183397174528597128a + 580043425622005003146361531992 )x^{45} + (249869643895297728183457989896a^{2} + 398287993778758217084141085880a + 20046834810787087121966499884 )x^{44} + (-439151751318829807481406842352a^{2} + 472373432655678248479707385744a - 182133433605169967556899008832 )x^{43} + (-576748445019695656915916657732a^{2} - 449432306414031367124005936236a + 147191715336210438919646702076 )x^{42} + (-321592970458908258283705246536a^{2} - 117394775651756146581809274992a + 195624711386186861410589169752 )x^{41} + (342713386410915393064058464740a^{2} + 522497771962164439264932329756a + 487726876385561231124150217792 )x^{40} + (496457119486375353011958011632a^{2} + 410096424724829880643681469744a + 427471376556267619376000513568 )x^{39} + (620199689692810291917731404160a^{2} - 567798189775862648884489091048a - 325432150441204376479492015440 )x^{38} + (411940642562959579597067362512a^{2} + 385909843715512539429057362984a - 133510574010771930005198405248 )x^{37} + (-149339650035501897345432241208a^{2} + 308270554595841465011140684948a - 12761512184678281966781789124 )x^{36} + (-154278691809888400443894507744a^{2} - 623985847670121281793407128864a - 570425588582195711260626203536 )x^{35} + (-435631967050764024254286528812a^{2} + 840410355168488545263965236a - 583573805258824130199688794580 )x^{34} + (561038803595707419727688929184a^{2} - 291036207378724409051923739408a + 7001408704360621026529947056 )x^{33} + (-23172201903680871044528243278a^{2} - 86167885984673829628105352060a - 432580911565775399548401838382 )x^{32} + (-129321044807516095494099527760a^{2} + 613362622284421866855946004112a + 334658538233715987875999912784 )x^{31} + (102028584590579972342940074872a^{2} - 103524895498854282723667611112a - 334190231049869614342243083720 )x^{30} + (-284643555952200534796864239320a^{2} - 516159667410446664348468705760a + 453192383924274613300960201840 )x^{29} + (172656367494277492990852770880a^{2} + 615087859601496019891413012068a - 326178979062908147676594066684 )x^{28} + (-515612166985306500350924711328a^{2} + 70561112532194340526020949536a - 298096568162011524700131049632 )x^{27} + (-506219557181355917846744657832a^{2} - 133152575398989537187140339376a - 577721204725605423791450869992 )x^{26} + (132159481406751838972978500528a^{2} - 521310735649901861461436889072a + 448091911203289806817840710208 )x^{25} + (259788693246153309383382240684a^{2} + 67596029424539395298165510432a + 252250587856325735442144509672 )x^{24} + (173181188415292619470301933696a^{2} - 212115994085640711908509340192a - 118343532687232589142080138800 )x^{23} + (475636346446636426074865092840a^{2} + 486273854754279830929576376144a + 121047993767900435543511977392 )x^{22} + (-266305372955265064859717259888a^{2} + 624408891728249983839558991360a - 149790008260761821357247072432 )x^{21} + (-222457486032643758429869999296a^{2} + 333721397620748720094057462976a + 432095489107735039060992658216 )x^{20} + (-93287153592077478848074689728a^{2} + 254050893800131506462992527616a - 340784547070518952966526417536 )x^{19} + (44702730764003874725171273112a^{2} + 223226395400179930214014524952a + 551030130899200065169586939184 )x^{18} + (425905459686595099017446226112a^{2} + 392035665383539780609492472816a + 91938601122437122250899105072 )x^{17} + (-455533621209062982720620260764a^{2} + 104423938397432044176591921876a + 87991491483928702995125839336 )x^{16} + (510473272587103315608914648000a^{2} - 72295823428620025807785970848a - 219279716451543397047197281792 )x^{15} + (-45131587971309227254499832304a^{2} - 235886824590810148189228609576a + 600518852676086242953088028976 )x^{14} + (-593264201864467810641893360288a^{2} - 428761312639146740208874296848a - 218048923947560385033916951568 )x^{13} + (-105720892825131898402556734936a^{2} - 245174924424346225946556586160a - 474494242290111577584486595184 )x^{12} + (349188841318298858265157323328a^{2} + 426675630610889756456983401760a + 429685170515242914781716622816 )x^{11} + (388675131055188449217228673736a^{2} + 414968222661959872601690611368a + 368239154124438024925217172856 )x^{10} + (-470224157165327048280902814272a^{2} - 30270423513666104215866717152a + 186746854126197574838551204512 )x^{9} + (-614931056582449760842914668988a^{2} - 17164156088605927010553214864a - 164904450934222810921573433036 )x^{8} + (-139884214150988004038523337216a^{2} + 547169844842681953288901279648a - 112288283202682395024895479232 )x^{7} + (-74522600074029027038665202496a^{2} - 170378978001391641695672734016a + 439517035597732660246973041040 )x^{6} + (-172982277154940700972569313344a^{2} - 22714467736071798640431575168a + 302766568260739413680680166848 )x^{5} + (527406078836499573463790189632a^{2} + 188927230606457839053885094376a + 60713245173974976491297166888 )x^{4} + (-421835483315023899490282716672a^{2} - 140663450698439968614391409152a + 36048854000745406133367735552 )x^{3} + (-529301534350929496108519928992a^{2} - 587231907611063410842113569232a - 55237531442844773598137716032 )x^{2} + (69481565664780145090094817216a^{2} - 437700731300787391683935015680a - 517827033163002600842171536896 )x + 552359077595164801596562222488a^{2} + 1482331877404171418318197440a - 141892995548700664978854187988 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary