← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (425376603871766682466763287324a^{2} - 247681074452860193409525059288a + 11264240616195875486221088680 )x^{46} + (-109848584074311676885765322696a^{2} - 51216783560925822426055885784a + 14304713643631355909140354216 )x^{45} + (-499247329563366225358524421456a^{2} + 363765282216153055869732215352a + 225449942090068095317166754116 )x^{44} + (472300241846257195181157462704a^{2} - 85477783638437241225430774656a - 180568867653289018951927385472 )x^{43} + (-404399225340599255622220585804a^{2} - 527465897236843135012961290020a - 282602491182775351774066753764 )x^{42} + (-599509808197061900862344600920a^{2} - 155453043549251206789645029792a - 548191516226763686515069861104 )x^{41} + (34766846739278364491561191048a^{2} + 243085664082338205034990502708a + 2211859762417142865374947872 )x^{40} + (-200553070627158970990629631056a^{2} - 553039552480109479755792358928a + 273342515518856141646850895328 )x^{39} + (-555786020778941862978652712920a^{2} - 124256154481496046155808345456a - 297551613428158960242163119792 )x^{38} + (174476914274725372950371814128a^{2} - 138896497330271718803177002632a + 89177043600298322787077741840 )x^{37} + (563055647671282127585475561216a^{2} - 118749265652299900448224064588a + 92899874410949489970608429428 )x^{36} + (-162172256876107381372732831952a^{2} + 533048965408525882354584257312a + 10420309113302245813731642944 )x^{35} + (-190126071940368480987738998588a^{2} - 400200798459798542932104354532a + 217142511729636833023441384468 )x^{34} + (-617989430385770680303678905632a^{2} - 67231389973672051134743657488a - 484415745550268472267322483136 )x^{33} + (-232451518626329399418437625594a^{2} + 363090433350314792720749508532a - 89915040202580329880690873438 )x^{32} + (178481172066231678389559141872a^{2} - 102538099665288935359305775920a + 376609613788179583912413388240 )x^{31} + (605058703145092765845492425720a^{2} - 192796341542077989673220501336a - 544925357745088005613188053256 )x^{30} + (-284618418566212460351572590872a^{2} - 220031043969232776396252313504a - 157742911254249323518484238768 )x^{29} + (-97960471346913973706315061712a^{2} + 4917877684924232778089249804a + 564286638423792818899509233956 )x^{28} + (-343186509148531197681868448992a^{2} - 270437328222429080973811005504a + 399194342855886194132070663264 )x^{27} + (537176702040873765902955826848a^{2} + 386143631624358909496234259984a - 470586930366341532283663762656 )x^{26} + (-24865303285873851018784900016a^{2} - 283638256802154823737973893248a - 459525666033098120285395362176 )x^{25} + (70025952301097336559643220892a^{2} - 118752973643413734927052759968a - 142957821073923338076176594816 )x^{24} + (317834197536802632111153079680a^{2} + 65082861225105294707666066784a - 488896549460179888263806346992 )x^{23} + (-25491438300886923984416111352a^{2} - 559187324902860499857999115152a - 322962015334676105960262461152 )x^{22} + (267413769028129518406659890416a^{2} - 294337036687535972342033414560a - 154609476010117227420220958896 )x^{21} + (-356483868395840047428842376024a^{2} + 339647311949004765100172574728a - 132089770904473323279888202016 )x^{20} + (528759044512176018650672319680a^{2} + 212276527061464268687164907072a + 466716311389524675134659702560 )x^{19} + (385919609825544143997494329016a^{2} - 17876251559709715506334816424a - 435435136688584571525090111280 )x^{18} + (77616329683755485781862819424a^{2} + 216910853797945021960674578704a - 3095552791842736964339612624 )x^{17} + (4553529948200390405810344492a^{2} + 451798165171753836632582721748a - 169790314537532932104259109976 )x^{16} + (-504390896990426204176870842944a^{2} - 478262797708407708643309470304a + 211232951280518590072127885504 )x^{15} + (-46022799895059010515698581968a^{2} - 203039185953809757155476531400a + 405586494743141443627024503152 )x^{14} + (-529822082867755354783196214272a^{2} + 471752049050668251227085427088a + 115474849652593656893826313552 )x^{13} + (-272794610087396729683662818184a^{2} + 275980774171886044024278273552a + 474011329652239562002558091216 )x^{12} + (-173362079971346332692139243392a^{2} - 375444390471572343367628001184a - 522375542448495798962116376928 )x^{11} + (-201966606092032292410115890296a^{2} - 104928201726728062343544903704a - 133911199505398062138420321464 )x^{10} + (-372642598523891800210428210272a^{2} - 455347542833055435563690291552a - 142222662405618250706465668128 )x^{9} + (604438646982408590858700050164a^{2} - 247031588483835936779114050528a - 558690869172782491941475512348 )x^{8} + (101567430659162931225097345408a^{2} + 422911182254326371888074533088a + 316685421618012769690787218752 )x^{7} + (-74228298506487560562105108320a^{2} + 148007358791518283986737882944a - 468372142219454310510168405360 )x^{6} + (72948133260776394917252062112a^{2} + 246288440477164023115370452704a + 516948780120429556164100659168 )x^{5} + (-331094621906788898437655032912a^{2} - 526243822726492362467910352584a - 251957222076748223408648029640 )x^{4} + (-334431731926195784684275870400a^{2} - 248262280075314548981219811584a - 336598145116200713381160039936 )x^{3} + (-113607031729736936964311094048a^{2} - 297249828382097929003737818832a - 630076017660563117583989140960 )x^{2} + (-522836371950822616294231881952a^{2} + 445619395281122763486966063488a + 370257139704470253128860981408 )x - 485564378858981218565227147416a^{2} + 573001816461286288860040395536a + 118944434453519233886190477292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary