← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-9624425804641566934456291212a^{2} + 140947338381768320614028968288a - 553449811530847995156752812424 )x^{46} + (7646236085059900485724645768a^{2} + 248062221156417635022864669624a - 77899761344986491889727473464 )x^{45} + (415359629823475144126506415680a^{2} + 29843204694754692724717666464a + 133598050682997046238797791980 )x^{44} + (300473920124459954684747972784a^{2} + 312395889401682384455422774192a + 277981858422550452671988065568 )x^{43} + (287559954789679983445490871220a^{2} + 411186711447869827762383413788a + 115525191756416994952071293412 )x^{42} + (238729591221111177871437766152a^{2} + 124366289529845398971380506120a - 254249308671226528401761427976 )x^{41} + (-261957535180998037932356105872a^{2} + 153215845367437709345856979880a + 458280412178934265997082021488 )x^{40} + (358578601529856557332668977680a^{2} + 11848615809319202171178128752a + 320144602168831200813664876352 )x^{39} + (544520654167676861877766664904a^{2} + 382242167364171055377304977784a - 365552501374821860744341726808 )x^{38} + (389679073147572169879559571712a^{2} - 129512766530389213538711051336a - 414822381404707094922402185744 )x^{37} + (198948359600000527393983712608a^{2} - 163289561801131871097247654228a - 552875410854321046612823896092 )x^{36} + (-345465704411616821058756033920a^{2} - 220513599465901006355986308720a - 435091717520164566306536285520 )x^{35} + (-590301568496859872764765742332a^{2} + 326748496066112831438617052132a + 18273986431079678092258683748 )x^{34} + (270636649511234027126458557984a^{2} - 382858591625416984424136447904a + 31137329732719047214178439408 )x^{33} + (3490987406072725413865709486a^{2} + 418109685762963154575824144608a - 325459996880324387234937501382 )x^{32} + (463038945805471973537578152368a^{2} - 260914921366610987420868594480a + 83562310608901735009691864592 )x^{31} + (-341130501366906683628425092488a^{2} + 162955948588275420893775403416a + 410141455122241689984204942104 )x^{30} + (-162186111126702450002633701176a^{2} - 328446261384458981221788478880a - 81757100088551736309865060848 )x^{29} + (496735954194246835930240574344a^{2} - 326081832974001359165417108548a - 128983325501218697012251843156 )x^{28} + (162581645660720517378647606592a^{2} - 316063505363239590504852541792a - 363081765612000956290476857088 )x^{27} + (-248216387073466297299670613080a^{2} - 85766241535770736196075093760a + 312435776632607797289666667712 )x^{26} + (-397266966231335262956944943872a^{2} + 38444415808990760144687177584a - 269201001424750399551761922592 )x^{25} + (-527758373644841751199919961548a^{2} + 214300828893888311834508853488a - 61750451266200749146810094136 )x^{24} + (80128367128047515124215014784a^{2} - 370801624325898770001845337888a - 58525703868802153883794668336 )x^{23} + (576472931269358285106016302296a^{2} + 104834688178502650235380087888a - 159284121282543318621686185680 )x^{22} + (13680724168171639658329816560a^{2} + 225906650083012208806441039680a + 439748013082153420551992666224 )x^{21} + (-28915937765236314885645996768a^{2} - 588140428767687783293042431296a - 143785696785073015860702518496 )x^{20} + (-105887163739338745544619972640a^{2} + 168775265598042868953784906240a - 37435129115200666865844720384 )x^{19} + (609716774837761732572434739304a^{2} - 572413687445114229705124597976a + 238102002135151987179557650656 )x^{18} + (-220456066580404820251042149536a^{2} - 609698473624471678326789933520a + 11200903030199926499158605872 )x^{17} + (-533009760765380212887058162356a^{2} - 164269424935359658989284142964a - 519713883430548447271942688024 )x^{16} + (146375447405724487194791028544a^{2} + 614776196180767319107078835552a + 334915439303881212228813172928 )x^{15} + (-416193275723792299033496859152a^{2} + 172776492951873748584587305976a - 502685823110141530977279824816 )x^{14} + (246884565738484862819772989216a^{2} + 465349052844547027104385015248a - 362195209603348281744210825008 )x^{13} + (-533195930573915118844537384888a^{2} + 444475535085701313526559445776a - 338857101172351788427834681696 )x^{12} + (-89757601277045081388870233728a^{2} - 253835759823383864956877632352a - 466764831177755673594822031456 )x^{11} + (435192083214113379114740233448a^{2} - 126752104265130362347586630856a - 58860980751154783647456529896 )x^{10} + (-93091673168960772116081556288a^{2} + 412110145893474850666694752960a - 46902065762141261437328446272 )x^{9} + (595723863875252745309483768276a^{2} + 107782862728515069989295803280a + 575098790921565053003504949476 )x^{8} + (-371152007208421896958815045120a^{2} - 130567875081397531287070812448a + 163343868184616203935198956416 )x^{7} + (321195749930349153321033515392a^{2} - 364022766716774491707918992960a - 605099169638763783154391560464 )x^{6} + (115707964674470334189375220736a^{2} - 253633145640170135708643477376a - 225582447791281350951574686048 )x^{5} + (-328562195686042147648941381776a^{2} + 82536637945391925314206699720a + 216391821899483283670802344632 )x^{4} + (-208385456889807031278434798080a^{2} - 292573699936806085038156188992a + 220847252773348790059580908480 )x^{3} + (-348677123316646882472403238336a^{2} - 202844104854187954310434045232a - 125323074128328273789428993824 )x^{2} + (-202783844248200519856013222208a^{2} - 342417025373968685721791216960a - 11149779952143397935550682144 )x - 204427352139554827389938297656a^{2} - 123580945887490506021913300448a - 120787121767402442864353870484 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary