← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.155258_851638_958668.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((-76983261688559757622927369762a^{2} + 232549303765705011635203665469a + 178631804910964301943645662917)\mu_3 + (61174766308126885223263275177a^{2} + 176256536525398630344813868935a + 103838377683031915502795146238))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3)))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + a)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 3)))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-316138145875685457167576415408a^{2} - 320727255249000819981382048208a - 514473843322115785827522095472 )x^{47} + (-470405759591556071362474547412a^{2} - 264865650235289023875635771472a + 135821642544483094279094977824 )x^{46} + (-322741632275115495490932031784a^{2} + 484003949358594383131023277080a + 565485002060415866635974013048 )x^{45} + (-269022110235158583359197232392a^{2} - 498286183555371070092485657920a - 9888907845550043164019213596 )x^{44} + (267616945840748338088078479120a^{2} + 72172051724304538765438358656a - 448376472835083673407969763584 )x^{43} + (130992034525399659819282188780a^{2} + 451875674705583323209635205572a + 426228797132123523060393915540 )x^{42} + (-337883607891498416019033435576a^{2} - 435119712764834847898980124184a - 510513931706900427728939602480 )x^{41} + (30001131657936407278050259876a^{2} - 581223366319705077639417459896a + 567599036104293925957672649552 )x^{40} + (-267960735965697284947604874096a^{2} - 403071264211044600041743587088a - 48934255128046747392547151744 )x^{39} + (-429924720685484985535430105984a^{2} - 524880934733545148790561948032a + 486316833345244671187896025112 )x^{38} + (-372114241454924065705300557600a^{2} + 512226144691310479057531323784a - 578405921700071814213404278464 )x^{37} + (340283812028903938044523674200a^{2} - 471381576353997744503842218196a - 540476834910172353673784150420 )x^{36} + (-475781232474055552389404304368a^{2} - 448053050852448912558280933872a - 238021999466564486457295569216 )x^{35} + (150446873648679594475323648404a^{2} - 54110167207159785554569447444a - 457077017233134974481193936516 )x^{34} + (300713633930034282741987639328a^{2} - 6705904728806251639481520768a + 448485395802005080061931502464 )x^{33} + (-178521588508611409159051114526a^{2} - 503594631075281943354951129976a + 295927737148288665667193286346 )x^{32} + (-562249691960625171384501443216a^{2} - 84725811885689688097852004144a + 191820104801521548100012695824 )x^{31} + (-329469839259684216560372754536a^{2} + 3469885038436785969285795624a + 76336835016106334255569031192 )x^{30} + (229339283391728351235669555016a^{2} + 376420398717767641215488857248a - 361730504990629780419832311376 )x^{29} + (-67426115566653945995197345720a^{2} + 53065042936504005203674652580a - 191133777203525459710018588404 )x^{28} + (-45612308900907979902208289344a^{2} - 92107036066189121319928093056a + 116067934847682204953442819584 )x^{27} + (234139031655807266598962994800a^{2} - 189912807753586988672889163792a + 185831487200984370960479673688 )x^{26} + (601366377448671918236168576480a^{2} - 216261598414605977741361787456a - 447942104728314140271720174656 )x^{25} + (462108466387113790333896717892a^{2} + 465188371323139640953226513920a + 19673608311435695590694782816 )x^{24} + (-520935166829486237269689595904a^{2} - 498559239411014738404300692000a + 106184393399867930558094357776 )x^{23} + (357790779791971378688842895448a^{2} - 474375499809323241200885445552a - 555400381241567298591543128800 )x^{22} + (263769580691539166110296776208a^{2} + 67278402729598398993080332448a - 385277720227354418600496248912 )x^{21} + (-601178861535857529294260395032a^{2} - 614674035266957962900748828792a - 84887937318638498828646571208 )x^{20} + (-120543386989906574475329339616a^{2} + 246784179893562005358890849984a + 322380909865266766573618994272 )x^{19} + (361739340977876657225179078280a^{2} + 479696821648537793368481169928a + 250020351511051596482618063232 )x^{18} + (-243254159724038676078529524160a^{2} + 483294431541041619431257281744a - 242776477859085118717921442288 )x^{17} + (-274925791049089553450110595372a^{2} - 393499514846709448388817275396a - 118974706216457472217841703224 )x^{16} + (64560742520944749588151973440a^{2} - 282021144728412829812683844064a - 161121046145930509111355442560 )x^{15} + (-274742761649538147281476690352a^{2} - 591077551985437843021631416680a - 360806696299187472746721535280 )x^{14} + (550837551205351801282007349632a^{2} - 465707148539385903369514282896a - 182452757771122607967724948112 )x^{13} + (110895921768095687383633794168a^{2} - 422303015714831662122487502352a + 2896537149566924374406772672 )x^{12} + (113558941123631612380195011776a^{2} - 534728637209465419834831153824a + 478993838937971473517983159392 )x^{11} + (278523749437267514669006691336a^{2} + 218076733942752083812890351800a - 337194670313318015043839096344 )x^{10} + (527568727726121643086599558752a^{2} - 239527832033742272888162814976a - 243169107888687602405183929728 )x^{9} + (-584815977497173735460955274876a^{2} - 82694820960783182744383078848a - 492723249262659504858793324236 )x^{8} + (288039008701013371525014654208a^{2} + 118238056183365663743700370720a + 296064939548019526708489155072 )x^{7} + (-551122301792120107021249149216a^{2} - 278151627256534904440071315520a - 419251701413175494893044649936 )x^{6} + (-16767060350278287088051712608a^{2} + 236272479458317773142887028192a - 520440773397387538283730043904 )x^{5} + (-182004884028714837282620283968a^{2} + 405741141540287604691654486744a - 164256110567321944951414969720 )x^{4} + (134082908021944879246911871424a^{2} + 551464641544003645249584913088a + 9447702207222555311545576640 )x^{3} + (491735470350050318690017193952a^{2} - 532090453014059209760620369776a + 10196243024845192162529822880 )x^{2} + (-396781774522659382037333967776a^{2} + 463431545754072262945677102016a + 362849661881384360241572682240 )x + 570316186952887678840929683928a^{2} + 148006871806356394223807431824a - 109072636303153893072114115892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary