← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (387093625550075581782272924168a^{2} - 28526590214653315509651099828a + 131018410550461894777438376208 )x^{46} + (27377296860281837619087362472a^{2} + 509792597375918686677738192128a - 5963085649499319024351433080 )x^{45} + (-113313933034936100061290381808a^{2} + 57802351711221825838841670808a - 109276047517238617015031149008 )x^{44} + (28321640298955724234916175056a^{2} + 36043313569698681933845023872a - 583475620183649749426026285568 )x^{43} + (85819356386762286468069228724a^{2} + 299045565675130261220064297276a - 51682762765547112544714743108 )x^{42} + (-273161468184662741852780836912a^{2} + 281320148794722061752476113808a - 386308161198793244698875850912 )x^{41} + (424370369541979182353995166956a^{2} - 246337822134745298141912122500a - 418943319800126512766686470504 )x^{40} + (-520415126945439395987017202320a^{2} + 352794351880933539613498303488a - 381182597824749455292382136112 )x^{39} + (-513277782535567661870343860104a^{2} + 454667840049790139446381837856a + 70666146103833735432207783200 )x^{38} + (-579954433698128992609205264080a^{2} + 523169878801297360935922924584a + 447710943347971359041995241112 )x^{37} + (-183512746293088572979821275120a^{2} - 126200716414182074860695131596a - 420296736231910102613472002024 )x^{36} + (-581305252157805283831580909712a^{2} - 487453877425442492104899478176a - 160519015549447249649224214624 )x^{35} + (153538524439822573263703347824a^{2} - 213810378163922929948785258472a - 510628217316674305267523179660 )x^{34} + (-9812433666758989015811549840a^{2} + 580309223642416823913191096552a - 547399508189607159628428108136 )x^{33} + (452753412003626042895104982672a^{2} - 214768041126329384951733196374a - 42594548096117966262257626616 )x^{32} + (-603601629655626696815439459712a^{2} + 202865875767215689037137470144a + 589258403564522398645128419152 )x^{31} + (-425626607589609714971605060504a^{2} - 590237750771728385670643393888a + 625553856602631264239706679784 )x^{30} + (-361328416830856211913856934704a^{2} + 285945517677395629563886880232a + 133033894119811333413991786936 )x^{29} + (-420725940272292009004703754580a^{2} - 617688980501452272544497795500a + 330112069869500184943398876560 )x^{28} + (-420612713665281605086845126352a^{2} - 164646428356667058518937802272a - 239486726230373181761628793424 )x^{27} + (-595712344968911701131744969368a^{2} - 293845555770367361287107567488a - 222790083816982173162565251120 )x^{26} + (-192419172147287053581481018416a^{2} + 597443751919757131931066749664a - 54542709604480745860275800176 )x^{25} + (363847341232064039158564856700a^{2} + 605506986656437418621110491908a - 92207222293018395865706725644 )x^{24} + (208064746254286125162710552704a^{2} + 413879166673489207378710490464a + 306488266136129851699808374160 )x^{23} + (-479980421686234706339434545824a^{2} + 394099003431445565950887262072a - 474029721542213048080055202464 )x^{22} + (379959988345658819605660422784a^{2} - 179531733905569961261814256656a + 533861755411532143555999178352 )x^{21} + (-554614622068626599610846580280a^{2} - 319706148835942104624996886904a + 395091379445617183628865591712 )x^{20} + (-616840392028365590884026549056a^{2} + 385494053307497311821091482528a - 431728529112802618915170399232 )x^{19} + (446606524787202784526251293352a^{2} + 257824044592679688751740254320a + 557550953860970791549488151704 )x^{18} + (-466298475176655945623233967136a^{2} - 316762004832871734449810494752a + 13867328768631690597939102272 )x^{17} + (-619551092674957723232347741820a^{2} - 289844113021266342303281384984a - 578388287646987081500920041576 )x^{16} + (-606114681845520918068814997632a^{2} + 625212481647657981821652098880a - 599156651803116913619735457024 )x^{15} + (149785152576801151494778355320a^{2} - 246251387843490455891749438360a - 464676125619230397951001118544 )x^{14} + (-341643314129422384666505578976a^{2} - 378397606605184599794584963216a + 61962844051167739562673110400 )x^{13} + (-457720063393884323398185651368a^{2} + 354980193538232181172667003920a + 44939236992999065402993797000 )x^{12} + (-412282022291434488635666706976a^{2} - 608821184024728162957876053376a - 173400570169674567308787342272 )x^{11} + (-248824815428907950655812318576a^{2} - 438890979277990836122104590496a + 401771526806122224142185964248 )x^{10} + (-353279259884720157866486740384a^{2} - 195605991298672349746436282064a - 405183868471459915700269410416 )x^{9} + (-223298257743645515593083056944a^{2} - 552741022279088519837553159460a - 203914520283396927445846899816 )x^{8} + (-113028993199751770802086014368a^{2} - 443138874246343780894723193856a - 276870356024049011181388226080 )x^{7} + (-4389004780527119456748153888a^{2} + 214229673420315217994978670432a - 374335069488330179538048572752 )x^{6} + (515104215091759239660577341168a^{2} - 53402668661031194746466499824a + 137193346251687183435096028688 )x^{5} + (84755888931223676946079933160a^{2} + 98100276041012679336448002264a - 498989380192238472435552294032 )x^{4} + (176864400812332703988319107744a^{2} + 90707506465030926504441213696a + 532748685516674935758859817504 )x^{3} + (-311155387071872116869817589760a^{2} - 176530905594205999811952430240a - 315021698220974257510739528160 )x^{2} + (217784498488375949122044062912a^{2} - 195063274239701144807977443712a + 537268623982723535133137684064 )x + 5769859194504699252444163048a^{2} + 612759105584331699522680929528a - 79953331722920734499471597484 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary