← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (-534816984774788957172401374624a^{2} - 214323107378722215821484249072a + 294579159048624907729801798740 )x^{46} + (401441615883898465487634286024a^{2} + 395119740788743511133148253224a + 432068347770814692465677222472 )x^{45} + (590621817759165237207222305524a^{2} + 54645884031682224858384637456a + 535680728306544816635123326508 )x^{44} + (-385338288708691102883190260968a^{2} - 396019909668391806455098544120a + 407661995728320269240153676088 )x^{43} + (-534167356137078026525530876792a^{2} - 578759219471112578399261205716a + 136429514564715457086138880488 )x^{42} + (522278067553357394598467380624a^{2} + 257396762094749666863987607232a + 208006658357197523560457794520 )x^{41} + (-465586404774579334418213785560a^{2} - 387557623901885372923788371728a + 524907527121519994421588536928 )x^{40} + (281796204336122162120178734992a^{2} - 496184201711045334609977058048a - 230991142445611594074337151424 )x^{39} + (-275213149895521659095442609752a^{2} - 336826281122616012152285592820a + 245482228102742560430488841916 )x^{38} + (-116374645825827715971610715056a^{2} - 376009005986222950010909051168a - 418297253722381086157541509992 )x^{37} + (-427857643116360956987213728820a^{2} + 167388699311178720662380014892a - 42468925379102640658545253184 )x^{36} + (212296497567135681198810947536a^{2} - 497198227350312392192883188240a - 613086074888143589610120670640 )x^{35} + (3530113214449711640366972464a^{2} + 308294515442566836462612438984a + 52606574384692340313549836292 )x^{34} + (494569484084028934142118772944a^{2} + 272516034665102683444395316728a + 391301516354275378407159252824 )x^{33} + (505386372529850596106324183634a^{2} + 299452639814545769875215204194a + 631208758439500514214760234786 )x^{32} + (139842180435781966379876202320a^{2} - 105826226504543742622423284592a - 157709802124498838703504417072 )x^{31} + (-236028576015656559122392494424a^{2} - 95914401331537294988934371112a + 505051511199843128949434021544 )x^{30} + (-143253295660238802518078042584a^{2} + 582326979204957047878231713640a + 477460501109271474640202579368 )x^{29} + (-221056475535470796770845000116a^{2} + 368756324513584024011939920088a - 511178521441468085173594074224 )x^{28} + (373131613787730401575329357936a^{2} + 596374468081534008686110003952a - 186713504141936912890570176896 )x^{27} + (77196409860909746138179246584a^{2} + 544218530493656021212259222744a + 284038286448149559958449703592 )x^{26} + (-188947580666260315032243519272a^{2} + 568157067572971386113766956032a - 598344924719492507641687112160 )x^{25} + (-67719818555912043798685197184a^{2} - 64712562751466506043961814600a + 391712756611450082795527258680 )x^{24} + (479117147410880736441730418560a^{2} - 280125528223165070223516653600a + 51440599274326299420646787232 )x^{23} + (-582341956320547997222022627944a^{2} - 126114221624219990157275610640a + 515061330849392078577978800232 )x^{22} + (570781365939706774927685697488a^{2} + 595519626810102003309177967760a + 62276472946319135743992758704 )x^{21} + (-412522305329118577378780210976a^{2} - 324961204985254499481812814072a - 342243636704815201453948324320 )x^{20} + (-550485462406165158125500683824a^{2} + 464303808164370097945931004272a + 623526197194618268840764428192 )x^{19} + (116484959020735101661363916328a^{2} + 101666129741920139577306201128a + 111250254684002367789656415424 )x^{18} + (395567965939832717507974266848a^{2} + 244958377232943383496964575824a - 395126140764024564469518976480 )x^{17} + (611925756128911308184332304984a^{2} - 454700735996933549401282265548a - 545696476771170915980500811068 )x^{16} + (-577847713163579027915723563616a^{2} + 356393084826400733915244186944a + 195735856936965540562891413952 )x^{15} + (-162970929793087557218833832544a^{2} - 147502380671947932651369291088a - 18081941990039530113685601328 )x^{14} + (475716753101087800267622103376a^{2} - 254434641182007607550806532096a + 436030049712664983902419712336 )x^{13} + (423607369877235066763923653888a^{2} - 278858950601436899017018275560a + 140356149087218160392925549776 )x^{12} + (118548708018135780813280432512a^{2} + 574276978165782433035166101152a + 317963335503376758531663552192 )x^{11} + (112621455064195752159560634072a^{2} + 251983398933791762352164146800a - 532026210848304380723484532744 )x^{10} + (318727093710841082157827096016a^{2} - 525989847140784178363390583200a - 175447401943137514746880075120 )x^{9} + (285913556658326634299828614284a^{2} - 45258752404965582078573222188a - 95172762464002253058446949304 )x^{8} + (229104753783475909979997519712a^{2} + 439192435140004373718897440416a - 396083510106642611879218744384 )x^{7} + (47515039773953498911923146336a^{2} + 599589065884795519041093135728a + 390591451143722123734160118640 )x^{6} + (-505721472467896859733091697280a^{2} - 184722505139353468795105833664a + 24322459518582198739136771936 )x^{5} + (-530735472183109208148487412208a^{2} - 427201939691586765980249362248a + 407518691128288549581093106576 )x^{4} + (257225668947061998892834804896a^{2} + 430595660585361974417626474528a + 568680124347643341157115669792 )x^{3} + (20139142687776910285429604832a^{2} - 467175571820182110730292710864a - 185060881160112428212193237696 )x^{2} + (-624579388916038765847863396032a^{2} - 78433790384486943175100351696a - 346859522461693767119119334784 )x - 333392311560982008426606914788a^{2} - 416417331185968321160458937884a - 153767209919592641111113891684 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary