← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (500183951236917268539897325432a^{2} + 456589625306859773324327269164a + 173463482733387879991869060776 )x^{46} + (353003466821217719890338465656a^{2} - 67890725554069472405464790560a - 328992784693209473466199792440 )x^{45} + (57880719715327451533388217072a^{2} + 326755069588129847510081045080a - 340795958991061290188002820464 )x^{44} + (-7424831604624891024321242560a^{2} + 394228252728401765218275674768a + 521573308412063893557772550944 )x^{43} + (54961311290150090659329983396a^{2} + 82224231399065152732168642596a + 431140212920360504060894983940 )x^{42} + (-373279827894468986131472076936a^{2} - 128229417773515470434738051096a + 427368366554745695442020386776 )x^{41} + (362827581225235486794673187952a^{2} + 186139020367389423351261193968a - 419747781557423011917786900572 )x^{40} + (594262462227490409436449878864a^{2} - 55491734725763238351353531232a - 615005528572586490853512858672 )x^{39} + (-244587697992723738146490816168a^{2} + 477186086168255677024990190088a + 592851937846681070624106569056 )x^{38} + (-442479521626491963859829908064a^{2} - 611945807080462330904436010600a + 25592563676012057942229114392 )x^{37} + (4786034622008717824960827976a^{2} + 565409921843397581137799431764a + 381990385053929046733925833352 )x^{36} + (-189981218069510806192068896144a^{2} + 74459576657085419444885179536a + 560327220730928160227562007936 )x^{35} + (-364336242451466535490359055096a^{2} + 527300335765442657608938877752a + 285894794623056887132854499820 )x^{34} + (-370278245900886628772092268368a^{2} + 596216886897015773667596246312a - 566149113457679410139090592776 )x^{33} + (-423784054460919230816423293068a^{2} + 34254150057580588260178533334a - 118250204076011761989409363980 )x^{32} + (128421066273437354043361649408a^{2} - 364535715348908189661337751552a - 561412227125199859796356223824 )x^{31} + (-11478625364519829673270926248a^{2} + 557243838938845423903808332352a - 213449414544487881531108522184 )x^{30} + (141004501942250941844986399120a^{2} + 528965416878551751055705917000a + 281174628797614086825037682168 )x^{29} + (-422994665739874113926415572612a^{2} + 174490639785034397261992877996a + 401323027591713050572869404584 )x^{28} + (385095721439997602573339749264a^{2} + 570764013012407927432872706112a + 280977069927742729337492957296 )x^{27} + (146824332675964971108531375824a^{2} + 146042520479909102447680087424a + 37723502930740839625081837864 )x^{26} + (344948723437188385254410196080a^{2} + 156828167115197175723428212432a - 272605558785368358098834033632 )x^{25} + (-535642683776712748990539943340a^{2} - 96015668397159043295429978764a - 467782336634289127161223004484 )x^{24} + (-180191327014590347162624345568a^{2} + 472762905887235110462874955552a - 429440932310963637600838429904 )x^{23} + (-513713424770494324564240782112a^{2} - 331583299410118824499944584920a + 176745487192220257551273685888 )x^{22} + (-555244909152790460058286518112a^{2} - 520198792601726235940936456784a - 547014355391326721935099191440 )x^{21} + (136542726966876471419760988592a^{2} + 95804765544091512028054390104a + 406406433565505439438459596736 )x^{20} + (159466987072116677971102088192a^{2} - 466744035406505597173167004160a + 30560501326579248855195826240 )x^{19} + (-502375369901300841488893211160a^{2} - 358350718522082119201662318480a + 625272373020665763161371013288 )x^{18} + (-105654101151650180542041222592a^{2} - 196802166171129189050604941024a + 326542497959717724275357887920 )x^{17} + (-274622593060007347481755547412a^{2} - 153247780775405753030848153648a + 532688523467573886176818062896 )x^{16} + (-254136365809702959951427672320a^{2} - 480268994479021955498091929088a - 351118335475099280859970678336 )x^{15} + (75146418839522307601020202872a^{2} - 198129377164687403089304255768a - 248489335840180265853123692912 )x^{14} + (-461123619668048476689875194176a^{2} - 210119833649915135305287610576a - 470697099498851885522011854176 )x^{13} + (533521825383364129826165646856a^{2} + 373365934229308989056377470080a + 535940226541099990220381345160 )x^{12} + (-66060356508344281848585877088a^{2} - 308835874306109217745366458336a + 189315069912028612258168160032 )x^{11} + (439240051351968431023069824848a^{2} - 458532456243752042311026823568a + 352663198993274921115769573480 )x^{10} + (564241492377464349954680904704a^{2} - 610400406563196726636285626128a + 247478572741540977156108807760 )x^{9} + (174368849622935225348236020912a^{2} + 390649448121091218355826832572a + 461340677619018742976787168872 )x^{8} + (387056892837949821877853036704a^{2} + 431793701150078269609021480384a + 404253214927606935197200096032 )x^{7} + (-183786396489943560122265141184a^{2} - 74619592737017032827439829408a + 86574002319937296245525827216 )x^{6} + (-216785056346519098635706624912a^{2} - 560056435983433045154342254768a - 530635111018955105653412270544 )x^{5} + (181202605582536274148386216040a^{2} - 27726418006116416006709527944a + 17851889022914894923955528800 )x^{4} + (-2246542600456061645194061728a^{2} - 244224469917798959539653034048a - 334121062933407164651395411040 )x^{3} + (-540504448741749678244730904480a^{2} + 426572864937600455764469306848a - 417556279931510800615457849600 )x^{2} + (-199715145270694704979350819424a^{2} - 219941561594862557200881264608a - 454763994035782413168673096640 )x - 220524920005532137054190957528a^{2} + 346408786069043865731879050392a + 362248242562928640016718205172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary