← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (182912305560474859173303810472a^{2} + 62592247470629689314005997048a - 633317180708172564725657290780 )x^{46} + (-592945574839698321891395234984a^{2} - 296908305006682748460651582536a - 129999552578990437539597204296 )x^{45} + (-575226376762501922254162591988a^{2} + 493453343716522186618716197904a - 196016878253185553693460511324 )x^{44} + (280245280365282990242546163624a^{2} - 301766607488540196675930204280a - 196598848859736492411225302648 )x^{43} + (-302373164982572889779957175920a^{2} - 590250200940587357528652072452a + 500683393495136896929529393368 )x^{42} + (-62975631783436990078781874984a^{2} - 628337805568419660501273883352a + 233654712334651326854050989016 )x^{41} + (-339478631123638128903059119616a^{2} + 471148393738389489062496602184a + 377239551971719101775154809796 )x^{40} + (423033362642209347013543289328a^{2} - 407119249304425365732259243392a + 460286717436852082194802957856 )x^{39} + (-457300203838819055184575221272a^{2} - 56718564073790184138144932420a - 445822064322604880670270389508 )x^{38} + (-586192924044904115251459196048a^{2} - 28540864116454410565183486704a + 356893749455454806255139478312 )x^{37} + (-402329612504321497982881017764a^{2} + 588418597963852792889310894292a - 203804286428565621940399546792 )x^{36} + (602664344429518234564084902224a^{2} + 52105446172099244840647717296a - 337248621046156016321694352368 )x^{35} + (433170352820587502882128447200a^{2} + 312969707945585184202418739096a - 476090312623682180128730276132 )x^{34} + (359373493515920289286111249376a^{2} + 379917029132065509514314883432a - 555598186949059643707608219512 )x^{33} + (198516280630388973616270716158a^{2} - 441091972238708074798256698430a - 571148356300316093443249298238 )x^{32} + (158986295182456335281497882832a^{2} - 602058224795189013052963887504a - 108384233145257578584261531312 )x^{31} + (596588006584931130263576564568a^{2} - 354685274058313957171924840856a + 497264001518931001454398486904 )x^{30} + (289410630519994038176603820712a^{2} - 506006035129825141019982965688a + 432491131287436539020890490216 )x^{29} + (-271443263917355002559245662980a^{2} + 359267566119889568692139762504a + 305797536799875040659212196128 )x^{28} + (372089234447061224322813656400a^{2} + 587831263754201899216395798480a + 363361768559830460528494917184 )x^{27} + (-155599772364535609575489026344a^{2} - 179697748194470934578286441128a + 590918723007192442873404130952 )x^{26} + (397754590419225573576595776856a^{2} + 180360959338195524822295775216a - 202432316663587403461581090416 )x^{25} + (340009683111315447081006888288a^{2} - 628846066762867976165659869776a + 22518004275548265583960498096 )x^{24} + (589404740290536102791759913888a^{2} + 63994558867312479482378631744a - 383213085859284461589437769696 )x^{23} + (310668197340016335881406179720a^{2} - 610732769746304133459856559680a - 181855984652530131997069034120 )x^{22} + (-342463066229120850087454607984a^{2} - 472201069391837640789440117392a - 177190265646809986550835170000 )x^{21} + (-168710315641295424453272474520a^{2} - 263764071009961782692237014648a - 256733840322869872096982265824 )x^{20} + (97564185709918830184663436400a^{2} + 633274819078931025766031113072a + 175961961583986565453535668608 )x^{19} + (539047829773217548550293824136a^{2} + 231060318902062366627805088120a - 314410732109086488836408496592 )x^{18} + (518550145309763742477542253952a^{2} + 256471998748112492165863692144a - 152281803657179594212472134304 )x^{17} + (301646513031945329312804727232a^{2} - 187891423468289174214885663788a + 79595304171081474928286800396 )x^{16} + (-608914595589732156564863751456a^{2} - 429623352229007427027804114880a - 490577853668977963845934288768 )x^{15} + (531261204471965075083889317600a^{2} - 274499029554580985394228701072a - 539387594677992073761657043216 )x^{14} + (67862762345605099635482534320a^{2} + 578829316149270794360431175648a - 586484511489857792142368516784 )x^{13} + (411268691860843667208737830144a^{2} - 579095560519148326093683800200a + 95190622464306788709444029008 )x^{12} + (228031378936761968625825372576a^{2} + 184389101186371808974350976384a + 568337953823777268687319469952 )x^{11} + (114755841579753725595843779784a^{2} + 545749363192127554669720493408a - 93501909915868760725076400872 )x^{10} + (418329792201088034929856605712a^{2} - 530150233101273320492755830272a + 485053961158150087129525186928 )x^{9} + (395114183680195009437919555548a^{2} - 296559006247011034735065249772a + 600656702773473970753435491208 )x^{8} + (453286404142787155903135406368a^{2} - 102219465112580840722858668384a - 385323111756905805485833666240 )x^{7} + (568794622816453042236928975808a^{2} + 541289780768793872541198093328a - 80683200949782746790300238928 )x^{6} + (-444407573369770539556396143168a^{2} - 218110938830915203126266695968a - 115421067811712273246316818848 )x^{5} + (-371459385391248852941476901856a^{2} + 40797263441275702529655064264a + 593967665626584980928030383424 )x^{4} + (-114708512101731757565752499936a^{2} + 381426838643549725306336775648a - 12233960811610061151651519712 )x^{3} + (425961420239963701451659382144a^{2} - 542024362679315660009481982768a + 371083753653001292737976333456 )x^{2} + (516174541210008462648550760192a^{2} + 352976964173687106863876348112a - 150665509896383243034820370400 )x - 27520313915168233351439828740a^{2} + 380432137753323373626709492468a - 483469792235557109230436277876 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary