← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (21644370934813161600667038432a^{2} - 398788875673747554906401313516a + 331837157720909331954973494608 )x^{46} + (-137482200005482774297819783816a^{2} - 605317074652135756075289434048a + 210959656336872240771691279096 )x^{45} + (532422915015953417974284146544a^{2} - 585649810411183301479033162928a + 350286911500451090263421721984 )x^{44} + (-552309764968012466755488613824a^{2} - 250009550626033132641360370144a - 281321508031576464720215838192 )x^{43} + (-192855731425286807560198274916a^{2} + 183758717868621594692994006436a - 347642384420126806126702405548 )x^{42} + (-302953767785005751325138841240a^{2} - 74911674101474186083951015888a - 387696934372935555904599951432 )x^{41} + (-412060219971941099760451143704a^{2} + 272006554608161835426457621944a + 377293448993035879921677435728 )x^{40} + (375231645772304445862298857616a^{2} + 315753408016451810326447885408a - 448319470458656651849217408656 )x^{39} + (354257974649044389892738388696a^{2} + 25388613922982092609034007288a - 279610390097381097210924183192 )x^{38} + (-76625065004403471801064979216a^{2} + 479598716195613699162910549560a - 311053918866544342106976018584 )x^{37} + (-220152876612949137568155371096a^{2} + 542257891793152398080694890932a - 227931409552580600197187542248 )x^{36} + (242007259045272090713845212688a^{2} - 405712899415526890256558357568a - 616471563275904147786926901328 )x^{35} + (-180479003819521316546926108864a^{2} + 133898482821266226800981808048a + 625760713081045570063665461660 )x^{34} + (-104674402616521678918185003280a^{2} + 466726966530528280585537303880a - 167648242530438651282226704856 )x^{33} + (613581996150324378690078249832a^{2} - 510938404001636954080287808718a + 529791426232685080100329105324 )x^{32} + (-84394631413795493945022887776a^{2} - 69529515636814677648670514560a - 349606408186706196222455118832 )x^{31} + (-492896957553976336634422685496a^{2} + 322983880356885976918844793648a - 45813289692973977994863414136 )x^{30} + (-32663818737826502687006971216a^{2} - 373052996264329184880689397624a + 397057011468839623395049391640 )x^{29} + (-350479320584290058112324896532a^{2} + 14521248166960337060740092036a + 259360305803170606815168241784 )x^{28} + (49753442975485200235444897648a^{2} + 206709495097198963750021176352a + 616339935923120214614857948784 )x^{27} + (-480992720256756761923722267064a^{2} + 29785950233004674424298225680a - 112288772367473131060987723672 )x^{26} + (-56847295619351735771132404544a^{2} + 503239055367040547274944659728a + 382874028383905448301024224496 )x^{25} + (36474742328867222643432727828a^{2} + 570129952185891343211563358396a + 27228968131072597447197110156 )x^{24} + (-290680653850427264158283482944a^{2} + 414811717804257825194394161536a + 190961828696470779188913902672 )x^{23} + (324597200868254838641965671408a^{2} + 346798763037888347268149251416a - 564813937906796803620541860352 )x^{22} + (-493463124650016815006501551360a^{2} - 631786062728273500411321541776a - 16856212827051704698115072752 )x^{21} + (280864585028882098077343531496a^{2} - 378808901329555190774058907808a - 583817238938548550767587132304 )x^{20} + (-517588559298159617004877840096a^{2} + 337065792037553070912898775648a + 63436500354978356450759339808 )x^{19} + (563696767077113581801163487032a^{2} + 385162451207788631626332932160a + 332276885797364902061757392888 )x^{18} + (542314922504524811230523661024a^{2} - 496374970122667244855029598800a - 10699484601484395130298438240 )x^{17} + (238388929245392943107281008348a^{2} + 351052696053880094292660646704a + 212811588145062375147585518792 )x^{16} + (413598878090740617807073847616a^{2} - 621084673529732024489189557568a + 511056386399761975300159159040 )x^{15} + (44349088073657209080187864600a^{2} - 78614400449231060772859663512a + 79970198426206096183996831760 )x^{14} + (410994665621609460058508288256a^{2} - 316486177041224297420385930480a + 37104078803514701630071451104 )x^{13} + (417310732197155429175428558184a^{2} - 9516559525998647191321023488a - 513740932260963657455226772072 )x^{12} + (-422878131599588715216132756928a^{2} + 353078315701764143382239437952a + 201028953736140800220539747200 )x^{11} + (-359901247143879492174593190304a^{2} + 465577112384188338091191164592a + 56097028704948439192956050744 )x^{10} + (380485967150205622919448286592a^{2} + 540957777615442897678099308464a - 254624597360306183240054171568 )x^{9} + (66822559975310665684747676624a^{2} + 555389133670201287577972905532a + 426555233593585226116641627960 )x^{8} + (513554067332036768972674581984a^{2} + 260385931848066099929073709824a - 79060460003160097187826396640 )x^{7} + (596694162515194627408068801120a^{2} + 287679954037689398600073641696a + 244945148361980408658989295088 )x^{6} + (63047304538588450863068314064a^{2} - 60047629651569746023618044272a - 82082987201126226326403958704 )x^{5} + (467198614129407308507262060584a^{2} + 545596351106590977982156941736a + 514762969972192576662300034128 )x^{4} + (573244488355273872561531394272a^{2} + 569377840287375106417717304512a + 237603170390045128909728052192 )x^{3} + (601732178940873085951093857728a^{2} + 131867036183445377020788402656a - 443050828826695197936233035136 )x^{2} + (-40590570089728701943389361440a^{2} + 186314648889943119169661167360a - 136397435347819603407320053760 )x + 446415915425523943118573095064a^{2} + 256560226745505813094695873976a - 546028347666461450500402188268 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary