← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (-294225725390828857667436659040a^{2} - 7832063620689002686069562456a - 447835508720905681367698508988 )x^{46} + (69634546784007023045774136a^{2} - 134459437924160025147194960888a + 311980329551663672535481543560 )x^{45} + (512936940079555193235943995884a^{2} + 440423155325768012902027515688a - 234651898419263913775845263564 )x^{44} + (-181569883971117937158142773048a^{2} - 438900230532319050260126877800a + 238905183188600965151495797912 )x^{43} + (358152355145393334629674225984a^{2} - 480584240003256515403456588868a + 58274620708700679480220837520 )x^{42} + (557493574927778480340325334184a^{2} - 508815245180072447941272064680a - 382189009327708203555831392608 )x^{41} + (464861894232605573180324933092a^{2} - 297072020193867323435302457792a - 601822516630267620973599635460 )x^{40} + (145812308279921832364967515248a^{2} + 590823328049391153951561807392a + 139720718603138006983167905248 )x^{39} + (-438917034696702388886981677976a^{2} + 140344047278189742665314196956a - 135075065940830584152979129972 )x^{38} + (458139111651818410040573607984a^{2} - 33219506048255180903302531200a + 468438685433636732361193014248 )x^{37} + (-53899099609889577238785586540a^{2} + 314533901001105048482869966156a - 473508153230470607550545277400 )x^{36} + (96604501625053788847518293104a^{2} + 344562891249704299141518293808a + 499073210450936680944012048944 )x^{35} + (-627445682943053320452552695648a^{2} + 211407162062441665034531796072a + 560605380960833670708867303924 )x^{34} + (138382181941667783865154736224a^{2} + 132784291670544728515436883336a + 537176124229499940166600637272 )x^{33} + (62416551618246456286392322982a^{2} - 183909721748010382931210881578a + 161844305432257722770378355834 )x^{32} + (120807597296925189453170312688a^{2} - 509510216607403705397143566896a + 517022932508272438064187334512 )x^{31} + (179121968874328738261065907688a^{2} + 78156014677961561339570072648a + 472914552206876768776064813832 )x^{30} + (-345033773031974580577850277560a^{2} + 164760933342285480739835763880a - 251733536668390816536485448120 )x^{29} + (503431059245894575682361596500a^{2} - 168874063236164632905187209312a + 178206959620799346993450798752 )x^{28} + (318747824285188430888723992592a^{2} - 547342593874369506096801003184a - 578170188333383015219059781120 )x^{27} + (103261306733831472046641617592a^{2} + 471273901742058772211008249320a + 136641696657141967484627215864 )x^{26} + (504123889768198423135292289160a^{2} + 503473222531663633148118377616a + 189827504189551766592247406528 )x^{25} + (233959447654841982214417088000a^{2} + 76761241654192877238948668016a + 287271009686260162129246032128 )x^{24} + (23511828149541679598693264096a^{2} - 120464974686708493347814700960a - 631615679183889507976807877440 )x^{23} + (209298029312928189120907707608a^{2} - 79184572989417449216250310368a + 222176495689789764836454826296 )x^{22} + (-72269312231268712052140236848a^{2} - 216173470453446728920311527056a - 581771346271601866281039170224 )x^{21} + (-510853495816638045358366639408a^{2} + 375236547785875780135419525808a + 579808045117510845041736897856 )x^{20} + (559033535089396751309694472656a^{2} + 347773846516880470226647584560a + 121822429575918059190130996768 )x^{19} + (-235742749098671579077627418824a^{2} - 88855140963952354457390464104a - 249504022455265056961820429072 )x^{18} + (475372221394724384345017830400a^{2} - 316443688174998483906043633072a - 188442113669207828880002078912 )x^{17} + (-627163554495308904711222776608a^{2} + 445461341327773105851961087980a - 512909324677363898728461517492 )x^{16} + (256699164507609768304808044256a^{2} + 531014586237391094872260364480a - 79800747922291826766662225664 )x^{15} + (415848033738346163150397481248a^{2} - 154239322668228935907589734160a + 579499902878125268343762917456 )x^{14} + (316982750836580981474192669584a^{2} + 232192349245071715736948217408a - 362076939717363550003861243632 )x^{13} + (-211254218690560633397623877296a^{2} - 187764001944617006223553848536a + 186230772481040604072659008848 )x^{12} + (424062044897507719757353165376a^{2} - 626730719362656775992850064256a - 486818618521008707418973007328 )x^{11} + (352539418193513238714179049064a^{2} - 167303639992241404639592359392a - 196168437066705143247189870456 )x^{10} + (-362858983607129491951097459248a^{2} - 632154495605766059162540448320a + 399166037662506987735035302576 )x^{9} + (-341733993729841647213197959444a^{2} + 573329358663007145356102214612a + 90662741786765906659617028360 )x^{8} + (569980409995702336943828576416a^{2} + 538371058975817431994866948640a - 182352564561843657968161906112 )x^{7} + (381640352078052758639642449472a^{2} - 93698380388852055379325475472a + 367489667567692646695183264624 )x^{6} + (-401759329238268252411599363776a^{2} + 298238801595135986964106084960a + 403474305805523221630142289472 )x^{5} + (-324348710345232107094105103056a^{2} - 603041825754191362155349797080a - 138261850120332925953621150640 )x^{4} + (20164046092927948073014336032a^{2} + 422249667447100527161738702240a + 457276486408199721201436359008 )x^{3} + (-516676007309923229083402300736a^{2} + 216598523622932844585165524000a + 273618641659454565799598736160 )x^{2} + (149888793112924529087406285568a^{2} + 233000705821587162014516505744a + 211401716772674066292815067456 )x + 288937286085275763527546161020a^{2} + 140395707573097769734586559892a - 455649190583119830287884916292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary