← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (-151852275870495749589876839696a^{2} + 384470789598419249506941503844a - 49627560998999616273481925400 )x^{46} + (-244145147797104371354518888184a^{2} - 265666403567139935705680400896a + 395795955421788000486289895000 )x^{45} + (474151484078608004547201856048a^{2} - 333175392689278563434100015168a + 511026743432502381293524134272 )x^{44} + (481451450502707572063565424752a^{2} + 285401209200623256617658162672a - 95019270469727012953519024080 )x^{43} + (43788280676570754959499297628a^{2} - 511857345951763458372691238948a + 470999628709445188896556480492 )x^{42} + (499714451941097334662141413408a^{2} - 533221767128456993707023397656a + 537253694359105880137218449296 )x^{41} + (-6530404059262451562846853740a^{2} - 32369737954490151637707336428a + 631371967889178256142691759580 )x^{40} + (-80593904283046530109626827728a^{2} + 306477996855383481529442149312a + 272507497036605357488850115376 )x^{39} + (273056075970650977833771002984a^{2} + 487753911690885697283095256192a + 364486572066060972349213617128 )x^{38} + (-577954898895496506022483907456a^{2} - 345790471613839324346940899224a + 31750016170037055869696255464 )x^{37} + (-333594582419561857532827230448a^{2} + 267815472862085450019578037380a - 494756457844596765009997511240 )x^{36} + (226702339725235867417255552336a^{2} + 303283534101084121757270085456a - 122144696950199301581734345936 )x^{35} + (293371503205100486153495789992a^{2} - 526336393470176790510426419760a - 610384751869485258996950708460 )x^{34} + (-503979850355504104891242179184a^{2} + 394059224351242263208221671560a + 363172799137996148037519665480 )x^{33} + (114632560841878604519216396268a^{2} - 555126540251620891940279927538a + 495145159638751114666649275392 )x^{32} + (614631663651381624363051983840a^{2} + 368634096743425879158597756160a + 52538364759621943938122192816 )x^{31} + (307980314368692072838808230648a^{2} - 450469476161893451425639221968a - 250957530447475656033431967336 )x^{30} + (-357649128906019989300655322512a^{2} - 534629674759834067995307435480a - 45919903571612538621604533544 )x^{29} + (-577677467402435278380144248500a^{2} - 355245720382836365047170544980a + 543491319230155651034683606096 )x^{28} + (443469783771067011324052624464a^{2} + 536982280388423001273136749952a - 470432959914828750065166842320 )x^{27} + (-77839488510710710539810072528a^{2} + 154766242756475457485084453024a + 389545542001145398182738781872 )x^{26} + (497225750521609446481010780032a^{2} + 614509233626450869903310638720a - 160018314754998217973150088576 )x^{25} + (131993385355794262053978784492a^{2} + 32065882138696892648946525756a + 295349246433904065704066542596 )x^{24} + (-358932174603135484383310067872a^{2} + 43267445463348349421011717376a - 401615045107595850380732122640 )x^{23} + (-328276391160729061439513376240a^{2} - 543748254351442895411688622904a - 81893876320941328456058195584 )x^{22} + (-598118417725440322753741603744a^{2} + 216419592982827899678415063920a + 290207678062167333242760442576 )x^{21} + (600487782622995163138019767360a^{2} - 127130524338615978627494743184a + 379574184180447238384481571248 )x^{20} + (-264694293254661207720027276384a^{2} + 61963872897436504108202766080a + 527411904220302319751520192608 )x^{19} + (-101253970855759196158011987432a^{2} + 99761603608889603303517550336a - 194680288747650335492804147672 )x^{18} + (575219503782874841690019511104a^{2} - 583517304875017951157421366896a - 538739348669119552842430227216 )x^{17} + (130647083911060905426457437860a^{2} + 505732162108403367040577805128a + 470784433768423236686624992544 )x^{16} + (198369724819551333499818259136a^{2} - 427344386151200505519271988864a - 555637991881530039723843716544 )x^{15} + (-141121460558190499276553986344a^{2} - 574093391602757667367475761688a - 588434455136859661206690303056 )x^{14} + (428737331729576401212391861408a^{2} - 343303789455169393977859920176a + 150721890410969346453486041408 )x^{13} + (-534674173215071986784051895912a^{2} + 32267794613570873182127137328a + 336453734984367359621987747672 )x^{12} + (25514902146118012390849562240a^{2} + 404043859350366043379333081824a + 555146127127927151090957341088 )x^{11} + (155393704500175548534591487744a^{2} - 570333279184307682861066669824a + 43321684610012417910021087016 )x^{10} + (-388703706831250791596070252000a^{2} + 599490497797593795608383366896a + 57863973997300655002022351504 )x^{9} + (-619977357231631898023306039632a^{2} + 150474037256920286114118701500a - 498171946957870460568127061624 )x^{8} + (-133306782552992593078634137056a^{2} + 589524458042543081305340964288a + 82455558317818458492780504544 )x^{7} + (-314785626765156227466958484928a^{2} - 484877095567728108698486854368a + 141149731862707562714400236112 )x^{6} + (-606179335398117128093396990768a^{2} - 345311938829147093406771659248a - 382596479531490095586520103952 )x^{5} + (384666104841389134532809996040a^{2} + 449101430064191222590073290664a + 475737064832001331237289398048 )x^{4} + (280620394868804590720125328288a^{2} - 277847724686517933482780290432a - 273324169292935333272075684512 )x^{3} + (252416066621878896220603719776a^{2} - 344457094491667772677613214112a - 338439937259690805661613965312 )x^{2} + (533402156751393964897480175680a^{2} - 415926913362603326863947576608a - 629233295453063449803528823456 )x - 126462617498046543108936595528a^{2} + 168707817494796634968002038840a + 358575268090379776676202531540 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary