← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (569095366993661455944103203608a^{2} - 157492489867335439010161586400a - 229690224993550154926427776764 )x^{46} + (509520735314988188127441140200a^{2} - 346763072741202654311810059496a + 117122673278139709547964103704 )x^{45} + (39550789163533381396950832948a^{2} + 467914373615883965856705253096a + 603700851885643112116264484316 )x^{44} + (150740864257792395511242229560a^{2} - 124705586150380881982488830376a - 433901059100316951855996673688 )x^{43} + (-205739657832905144343210819224a^{2} - 588691972036988344736132263284a - 413368836008840164645685387424 )x^{42} + (540369440275571162531001431056a^{2} + 548877176980628967215479556912a + 446368077542506507839859687616 )x^{41} + (259732364745336510373354831556a^{2} + 536330239228820721178671508376a + 99193464746708185328887132952 )x^{40} + (-225735961826358826060919463216a^{2} - 144925089046977137913939868256a - 104772938967712945148661878400 )x^{39} + (-372575420579597446479721197144a^{2} - 61020186293941394804282621748a + 619398438950890285578167983468 )x^{38} + (234969608737707601495823038608a^{2} - 113085028319257235418016859888a - 23914950543616315700083771688 )x^{37} + (-208960631925972726704560411628a^{2} - 539838903233467011719092786124a - 250713896004672746341736002448 )x^{36} + (-278954271205145924032161238512a^{2} + 393682915890323919562729495024a + 369922438118103858157709523248 )x^{35} + (278056182066508692416900561840a^{2} - 293975069223353536468789000232a + 608840150538720651529997512108 )x^{34} + (-309067043631010261947984894512a^{2} - 554893325406884959291490694984a + 183646327772044468813364859016 )x^{33} + (620388561742301548309932489418a^{2} + 551813522314516390800655773534a - 28316039560522315082679416054 )x^{32} + (-536290837548276709118923070352a^{2} + 566636179862192882944334530352a + 458253641927813762443763894576 )x^{31} + (-78262045851270980422809597416a^{2} - 58738517180552882718813587720a - 606821728602247135010721334216 )x^{30} + (255450015038844914014222860744a^{2} + 325758518490764897587406052936a - 107273997096806834968931842232 )x^{29} + (608328905923727390243637940852a^{2} - 413026257806691382462526166624a - 611440170332861656411065923920 )x^{28} + (-464143390942936559401848614352a^{2} - 271518116361605537594097224720a - 473055461357991433966154202688 )x^{27} + (-418392316814188839409602828296a^{2} + 571105533952821213169344084904a + 44827315120795966937965797912 )x^{26} + (125861804065324148597426982888a^{2} + 17351379959857253805821626400a + 214480157779770781729629386960 )x^{25} + (-420163964903244813983251326032a^{2} + 141363025124543188478252965912a - 313359113366740985429197443576 )x^{24} + (-370923138793868966546452995008a^{2} + 175071951997517184869520651328a + 318519990707141934191664229504 )x^{23} + (363154764636722627849458757640a^{2} - 541236146618394216064216111216a + 406632863383584960588176614472 )x^{22} + (253495506911656258832310007696a^{2} + 126731668940055367709871741520a - 374481562447657471242691411248 )x^{21} + (-566066539257471493860958033336a^{2} - 580767567455997908429741119056a + 493624507016456841283663515904 )x^{20} + (26712532983379475448721918000a^{2} + 521996150355166949101371167088a - 37985453266534965944308054016 )x^{19} + (-360173913467480227106339796552a^{2} - 534842230843175655491631856120a - 340801084393936871374236814784 )x^{18} + (68747627448978481674143263616a^{2} + 462574292164172566842949924496a - 73482735204061525883835673344 )x^{17} + (-275137689817681152274891228424a^{2} + 239640870131499134864053644428a + 503135853031387084654876278676 )x^{16} + (585280658359520669134910543008a^{2} - 425128346546830993229862555840a - 28873425954726778473988423360 )x^{15} + (-282009846667980938528503217568a^{2} + 540820429957386254011211478192a - 330971008258202530882731119504 )x^{14} + (-98592206306558538791347060304a^{2} + 187949778614311132915888749024a - 611596537178473347726267237552 )x^{13} + (-44449056981413165301615704656a^{2} - 148213337209635854273766767960a + 84457836266248257924376766992 )x^{12} + (173696108608137391242422876448a^{2} - 424022671205839764983791636576a - 499880319910439906789723411872 )x^{11} + (79258320990687849645457071576a^{2} - 559098989279095980635907258864a + 517375086688246638544024518856 )x^{10} + (-319033344860271112685161077936a^{2} - 385251724728603125444291269024a - 451036511080399831069477594160 )x^{9} + (183572380875037870283026230236a^{2} + 66074793126641074110440900596a + 110552198548294270105752321896 )x^{8} + (-568169142586209766257497926688a^{2} + 287617682194496855269546816544a - 140091603948001134533997797568 )x^{7} + (439745974721742048464976591584a^{2} + 428094064444493126925875945296a + 83375541017332944753477438832 )x^{6} + (-82918169221467825271265416896a^{2} + 156430293100922987711185469696a - 490835796747686315418968990400 )x^{5} + (-430368380451206120135275120768a^{2} + 607465034869404963829983673112a + 456590228681660468558059424096 )x^{4} + (-295280488181462149104451456864a^{2} - 191713416894235617059917542304a - 166940028822884254081581501344 )x^{3} + (-236993471157749680849211926336a^{2} + 329008469439275463199281095648a - 202032888375674491549419220688 )x^{2} + (611951344980955245807212589376a^{2} - 227095828777528507439669293904a + 221572606405561994172996072800 )x + 86073906737982778882381434300a^{2} + 271605699120434834143595919300a - 409476192232644579560791314196 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary