← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (391739731180920136481412735800a^{2} + 394742856393526169510051022244a + 624900460125856671143761959200 )x^{46} + (-127356467419125031222702139672a^{2} + 494327796116668481101760474224a - 269582867378621382044707103656 )x^{45} + (545838392117580634667362881552a^{2} + 344510132019524958029335988256a - 554749123323902201011834629272 )x^{44} + (372579206694598508596330086176a^{2} - 156394362952878521482035126032a + 462775005936377126229269248960 )x^{43} + (-590831846718655464602648098940a^{2} - 583817785920964884497307085388a + 514893684290065900132624300900 )x^{42} + (490873039179417403423022028768a^{2} + 621567057009468402257400652608a - 464336710880157898157833562136 )x^{41} + (352914688358142561345004281368a^{2} + 211874236754613674102577226640a + 108993796142294707444397158312 )x^{40} + (-136167858126644431420321940368a^{2} - 269553146169312237594662462272a + 452226701954232486582145189040 )x^{39} + (-333253264042066785160836636672a^{2} + 208706775693132224838199835112a + 201370168159836201773744768600 )x^{38} + (13631618002855304856036481696a^{2} + 55758371886854348417137570920a - 450994797487934744093035157144 )x^{37} + (204626979584739668255662594280a^{2} + 116425299547053496734102560308a + 338068091144018555965778479800 )x^{36} + (259804369968755292863878147696a^{2} + 341002970702999928772989375552a - 493381410929639209924568384272 )x^{35} + (544669712050121365958218982120a^{2} + 498827188294873227215789329560a - 43468089070123756740946953188 )x^{34} + (432907121961094742794036436144a^{2} - 572937887528334453209012336776a - 607402041183798350879806887096 )x^{33} + (149683940271666022402845406604a^{2} + 422413384702218720394085715706a + 6517274660404236583025033184 )x^{32} + (-93897662201180825636326394208a^{2} + 441907757717884182432969662176a + 240424670311908606291545085392 )x^{31} + (281637150703336648450153428776a^{2} + 536871890237951102042504183408a + 579522259221279602209551331608 )x^{30} + (16794614187669317885559641104a^{2} + 420558032710839966206590267560a + 57941019482150543061848252056 )x^{29} + (143473269243306232758225411652a^{2} - 267002502943869581013719715588a - 393362086962006284039840399552 )x^{28} + (370061477177675281536642413264a^{2} + 160405469932777045175822858848a - 346214076535663088034725270800 )x^{27} + (-163891390819239259135895150088a^{2} + 315156937480164039965900284696a - 517710044464589118304522382672 )x^{26} + (-411072083650165403862323100000a^{2} - 31627091772679949177127522832a + 458827925579482711930914959264 )x^{25} + (144397539311616496793660525820a^{2} - 555123230000904519623557175668a + 156307192988087005070480327548 )x^{24} + (52849442601168070166737691392a^{2} + 226948515611691422560677128000a + 95627435640079853999531265264 )x^{23} + (-391427853255751454973518160896a^{2} - 473477615784830668305930048104a + 441543352125547581278609402496 )x^{22} + (-608220638810019753417545024672a^{2} + 567553132884444029059246549520a + 281132104435557500929524829936 )x^{21} + (-16226917604195504953059793976a^{2} + 499954991732051508671043737968a + 489021622302141215153382943712 )x^{20} + (211572913325360009877939254752a^{2} - 333353274335380142689608329344a - 545467314736289175619090607008 )x^{19} + (-344412247067923110534459125720a^{2} - 251641185179501874045620685696a - 603576615775646786157264008696 )x^{18} + (-545095076393379123582965171568a^{2} + 459450249309690420449603337632a + 36607130062140658832491366912 )x^{17} + (-332729170497883228079825287140a^{2} - 150967193716379295921819225760a - 515930836371888410315398911672 )x^{16} + (20625888649962332747898972352a^{2} - 201535437280283666488773116224a - 617601875280184142857751715264 )x^{15} + (572542733713179656797283087000a^{2} + 63521343579326224043789649768a - 34675745977685951353974795312 )x^{14} + (146426958266475695172907490784a^{2} + 142732883023089532398818219536a - 415160334976792821402525293632 )x^{13} + (-136981171170237297320558561976a^{2} + 417523889213547869732580342000a + 367064626215108035872424104584 )x^{12} + (49642525817368218937469210240a^{2} + 478217960103164512283025653696a - 338486464280021349094332678720 )x^{11} + (239806839070961260903259478592a^{2} - 257155355234092825300847979760a - 605493558609704665202321643768 )x^{10} + (104043035744279490393017824512a^{2} - 336256624418754839750043664624a - 128689069490138205264585189584 )x^{9} + (115762815282563907551564783072a^{2} - 367527528504496528519515338132a - 49127522020469899258689657000 )x^{8} + (380772075043646207247046966816a^{2} + 225064663974514250800262010752a + 76030005136131406564012138336 )x^{7} + (292576839190807622357604600480a^{2} + 514123076792360210321520605696a - 583589441930047662241104060944 )x^{6} + (-58337141050474001508591106736a^{2} + 601498379093511070148430050224a - 627946259099941089976369381936 )x^{5} + (406115146120279719819230773960a^{2} - 298540114276655212432074063528a + 27452254109537674768243963936 )x^{4} + (322877106774541550747433137888a^{2} + 413378597456872646763769298752a - 264994235304231544130280578976 )x^{3} + (-6805819861886027229418767104a^{2} + 270294501694301327544000343040a - 585947850087304256553882922464 )x^{2} + (542511472860181262480912169344a^{2} - 237729221930453481715531749632a + 124924487477243899214162081216 )x - 113090647056527658858298737864a^{2} + 252213693721072122932618733160a - 253341918218253642582872581436 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary