← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (261956101998265227704941295240a^{2} + 415504221629653243326172905064a - 545499402501119844946794048020 )x^{46} + (308586930511927103900123137784a^{2} + 425877338028276090943748454728a + 477829260991326757529706165432 )x^{45} + (-477950029523930029413075048276a^{2} + 592517944994520822063488124024a + 333011851560009613088391422196 )x^{44} + (356910012168757394244990079256a^{2} + 165402252596483218640213512376a - 255251994321342348632697809976 )x^{43} + (221164637025541876880060923768a^{2} + 252028828015475082979503381428a - 224908718780491208439666180512 )x^{42} + (590544850154604037656831427288a^{2} - 349882390868360233573704781824a + 521394757123803722767371715712 )x^{41} + (225692971029706062300949966676a^{2} - 330693516523833473253203446432a + 35384311877710091266092448532 )x^{40} + (-116365052817398739432279124880a^{2} + 202157224392260001235836746944a + 228768574669398523477001049504 )x^{39} + (-60778615272531284950871542056a^{2} + 163901641332534701768906466876a + 171714909253650091793448818252 )x^{38} + (-512134672739765693378676516736a^{2} + 212433782419423774947455126608a - 440686508829505147355683713784 )x^{37} + (-378666796760801444087040212364a^{2} + 218641414325906039692349015068a - 337168121242815203587749885080 )x^{36} + (269277297098597892776281944048a^{2} + 520063659687181978285635883760a + 328903536262516676138256907248 )x^{35} + (353935436385690182405718851696a^{2} - 32888320522656133119780764096a + 580767710687816365584062421196 )x^{34} + (518574285508861506338621467120a^{2} + 616279381756713781938387361112a + 323014621967149679054092610024 )x^{33} + (622488927214150885038818297086a^{2} + 82082913083885378269071934202a - 35086726887238735071122667306 )x^{32} + (-35695542245763888818140731792a^{2} - 218738928788511679704612399152a + 68429657096882056791506298288 )x^{31} + (210114633713023843967044722760a^{2} + 17939109494982473711430855544a + 267731653884170701109169096184 )x^{30} + (250396945762274660723038137704a^{2} - 568086156477978434172645499288a + 200368073391188822409579436200 )x^{29} + (-618029861327392960234867396444a^{2} - 166095419707065722971181523032a - 93721490856311646453077181464 )x^{28} + (-266940137347389347714783409136a^{2} - 93255138743675779049459965296a - 207834739435700862493178187776 )x^{27} + (-552733391304157329387754070392a^{2} + 572709348336939923109012680120a - 494352339341874782466827604808 )x^{26} + (-265571494116299809224041310328a^{2} + 529250083032532610883304875376a + 301489664528489154672132169552 )x^{25} + (-580255838279157494489475431336a^{2} - 319931342855956993827266865520a - 164187266542364828599244721680 )x^{24} + (236917198280137223499343624256a^{2} + 289440442634442493838556426944a + 123683171657491121950162091552 )x^{23} + (570593816393277731859989552872a^{2} - 83795736366068529587228050976a + 533406794780630644313421947112 )x^{22} + (139904794989710292354748692688a^{2} - 142080839034763771264506424432a - 532455054165007518400170826352 )x^{21} + (-296315009908096368813789663984a^{2} + 350937987889148273462144744912a - 245662930947770376655349143312 )x^{20} + (-241066737752677606918619418672a^{2} - 166050781610252503276723173872a - 629128201119641944289092403904 )x^{19} + (475050306924787982218409491448a^{2} - 565221696909706898575968504552a + 130325864832353337764952613296 )x^{18} + (-250530846384922425244765302688a^{2} + 415097773906331179613578516400a + 363888100689387761699954471232 )x^{17} + (-565537003161674801689290617184a^{2} + 505359484374444775963426147260a + 364289678756546926173351650172 )x^{16} + (-436432080152619402004399302304a^{2} - 584083502432130759218150577152a + 482388043995957850601744483840 )x^{15} + (-290111491619567661218554552640a^{2} - 184921875395537997067013394800a - 155880744827153608019756335184 )x^{14} + (-534962128984869484561313979888a^{2} - 331547025079760438005279575456a - 584791439974255604229877264720 )x^{13} + (-202816834997934428604548756000a^{2} + 238046808149927068851741776600a - 232096750171929285564621807200 )x^{12} + (-511433892987903463196075127040a^{2} - 292815650565308587028489667136a - 276237181992971234183892638112 )x^{11} + (-66498941877856177956545193208a^{2} - 268168426831804096135512158352a + 550953616203532494154421916872 )x^{10} + (304385345084825168628927203600a^{2} - 175272346760012114928384978656a - 304720150327021264419084191632 )x^{9} + (610061069393693001325190084300a^{2} + 500228359132740808367810037748a - 296706771619275265817555814264 )x^{8} + (-522957636745909010307098791200a^{2} - 78029883586837066837853622560a - 158957229994930236499391391616 )x^{7} + (-469076808258857793824496473568a^{2} + 268199023789248048618267197840a + 222923854977534980240471880496 )x^{6} + (-329784966532090347618709239968a^{2} + 504730248610196781195236594400a + 105509552979136278090310180992 )x^{5} + (-537425911657121504298712310128a^{2} + 219054059014336286290460144488a + 564651211874381542650794247616 )x^{4} + (-115161164454165142632216258784a^{2} - 274971825949520654129368136160a - 407150553439891971111901616224 )x^{3} + (254953783556559961880602460688a^{2} - 408593370786193672425297354896a + 274826903623686161879793793760 )x^{2} + (-604240835768250245561344035776a^{2} - 627352568136873650588406708656a - 562076642267389705792287197312 )x - 121921547405381956124025017892a^{2} - 529226238864429822935950346684a + 70177097078120409718561297132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary