← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (-100569510943174397903090126904a^{2} + 211948826102183392501929846484a + 539082724136065279082010672744 )x^{46} + (114138346198831648395891457496a^{2} + 59385027348751514203865753968a - 76310700159313995690742746632 )x^{45} + (-376576364523212077400439929024a^{2} + 273681119611568189187390291328a + 407052282640021777893526797048 )x^{44} + (-198073812052194326917240623280a^{2} + 403220893951499860028872263712a + 458343019143188472788561402208 )x^{43} + (-3380630417512727964026977292a^{2} - 168913114378787750131411141028a + 138602977786628085952060376396 )x^{42} + (-151182035778635810024021274632a^{2} + 286640792093492562301850192216a - 302567951378370320092261143408 )x^{41} + (47494592275034766739583811484a^{2} + 364066371897580582714820849580a - 442989085902481704047052437252 )x^{40} + (618073419283636311574330526800a^{2} - 459434407356475690922221798880a + 462677567603509030469255537008 )x^{39} + (518821597112312380106643912608a^{2} - 378083112995543648641767179424a + 372620492219640537130526089160 )x^{38} + (325482383588507707980314088272a^{2} + 25933538048366346642284962136a + 463066310184161443586703657672 )x^{37} + (-359866148095537709864604474592a^{2} + 128683038143380853209913830148a + 105814761444515817311224392568 )x^{36} + (-281247379439360643207150242384a^{2} + 222939496223654798965438656624a + 213566592950847854151054459248 )x^{35} + (-60800595177016040414244709376a^{2} + 48002358528639481865654616744a - 124057262738579757103312050332 )x^{34} + (-404301339043005909876595879152a^{2} + 566961504835829904380457492184a - 87582921903953105956819117880 )x^{33} + (373671573561225129583244740616a^{2} - 498306603951670503911256439378a + 7235944267079587385160833380 )x^{32} + (-274641518009904419097471350880a^{2} - 327010703592143234410026288608a + 277426892607619625541701042480 )x^{31} + (517599373993771424735574369816a^{2} + 25984886532514476801168927312a + 326345429101191112590765537000 )x^{30} + (305295425715303015145893358416a^{2} - 151418691539755482172461589240a - 246093288863192473967166028328 )x^{29} + (22429595387732577127915912804a^{2} + 201857607373951884852399356948a - 426162207010730072585891060088 )x^{28} + (192848774025416037358413942000a^{2} + 241347920217049545894919589120a + 174538866773574461178396064688 )x^{27} + (451432654823583903775126360864a^{2} + 313467835585228296461658778616a - 416960431843380229445544770600 )x^{26} + (31435862791203503011817855072a^{2} - 176033734175857194483020761280a + 202625776395654949346477785072 )x^{25} + (47308289534850113691850966564a^{2} - 187015222864769868579934930116a + 55770256173672178780687329604 )x^{24} + (340568554683310509274905123936a^{2} - 446242652125996661508890657664a - 461585301080740737077020409136 )x^{23} + (-592423513221589479519264541344a^{2} + 178618218435403684235296457480a - 258619438834061657114241658336 )x^{22} + (392090479430981198677510691328a^{2} + 143762564888555072238293362128a - 110817378128569073163341625104 )x^{21} + (-458443564749590694898579624768a^{2} - 276729486837363726647778239584a + 165620315899186659722473028768 )x^{20} + (-413815052975349034412475000096a^{2} + 67608715807202670678450779168a + 315974933534102618176640368160 )x^{19} + (-522980671532045052510667127384a^{2} + 525707186830295318793488026528a + 434411824709391236896891643480 )x^{18} + (-36322645760485727563967891792a^{2} - 373146311117286630827126985760a + 396541822343043781398067545424 )x^{17} + (107648289807243709453255328564a^{2} - 432765615775463524975180976984a + 382087678314097185382450651552 )x^{16} + (-606383344633260888164185115968a^{2} + 161452461416060704620411189888a + 530648308047777734250336966272 )x^{15} + (77952712606422078932034716824a^{2} - 132569642126097031868075890712a - 578957001056004101005195539536 )x^{14} + (170616642239250020323948372864a^{2} - 341151394357109582902211094064a + 42272115174005584948837574432 )x^{13} + (-191935942504642542739570603240a^{2} + 322522778528862494712115093152a + 198557508972316253956130130920 )x^{12} + (-602359280784797519105951914816a^{2} - 182834864535457614909747909088a - 325641298512393343375558181792 )x^{11} + (-332752360293855819621283540960a^{2} - 19410257584616513164942648928a + 566250843257204442970185909208 )x^{10} + (198470251485853110742351143840a^{2} + 546663141167585611865594901776a - 343962493862324510751630565392 )x^{9} + (-111318341037912155240155682720a^{2} - 514545898549486260303837324116a - 575307275964002901930151058104 )x^{8} + (-210266042798457977086112263840a^{2} - 570687797334070970642172610112a + 529530634408421214222462796448 )x^{7} + (187099861698523624452605434816a^{2} + 546619795981307031835957331840a + 36259536683931004271406814032 )x^{6} + (-140236195710891276404931831280a^{2} + 76808140136037221340650604272a + 32400752712858728025371891696 )x^{5} + (-198813885397556870288799481848a^{2} + 6530234954358103651369953048a + 356897495753138443517089043824 )x^{4} + (-482400389917786254255851498080a^{2} - 170310120833693461197802855296a - 81425533950524143101464293920 )x^{3} + (199116251150534464336901597632a^{2} - 52989714754930703938567071776a - 610604984564135266028261875200 )x^{2} + (499967432096572638218378423968a^{2} + 22546415974679802420618761248a + 188782902981227799626692637536 )x + 298036404793305689818830259288a^{2} + 53009821226025237638538303912a - 222143755856344311750599403388 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary