← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (116380805282567123764084616912a^{2} + 454312978078845820903179404432a - 86639725589052561186110843060 )x^{46} + (246799954486891471104071467656a^{2} - 625408233371942229723510553096a + 154116973762660263269080553896 )x^{45} + (463478239613020468711858177940a^{2} - 273461892953187314245159696040a + 502236967214842823349564158332 )x^{44} + (27432356074862241209826998632a^{2} + 472832711515770587637053016152a + 64768934156873965371792600600 )x^{43} + (231093682568450252036145316640a^{2} + 589975772828410268685396038788a + 81474102471831008446137398576 )x^{42} + (421442286584503241122362568816a^{2} - 419303547535041440790993680872a - 247111460747382736645324846832 )x^{41} + (-425570670434479319042657845996a^{2} - 18821608156788017695145347744a - 475396124624538108309641007168 )x^{40} + (-488989558371221487398962538032a^{2} + 70223694876743210506192154560a - 40017487065270603913299875456 )x^{39} + (-255413869170574408917063352488a^{2} - 484525723313542438731529387060a + 447004794167699648225685735052 )x^{38} + (9773905491201059350351525600a^{2} + 355858078403244244759571615552a - 354532407460138170629701138952 )x^{37} + (-484009789727050991065739355084a^{2} - 249882161394869106704229078828a + 559866375279361288721399911136 )x^{36} + (477212649720306208128187825616a^{2} - 467118101701498031319161770672a + 186362870639626746893611037328 )x^{35} + (225437847774123406449318630448a^{2} - 434136867439872270699428603168a - 126660258222428254962482277916 )x^{34} + (86092027282001575001892904256a^{2} - 227438498695865033683961101784a + 401144109084895951047690340856 )x^{33} + (371607326362227062631534415218a^{2} + 433078533434411793878838364250a - 354303510939460806707621437162 )x^{32} + (-239607473437593118577605672592a^{2} - 241385256165683882302616381904a - 316602696140267552442548670736 )x^{31} + (-246417936335694583520366972264a^{2} - 421191448531160330727630469496a + 617256551147012614192045164552 )x^{30} + (387870841311917121765296105128a^{2} - 385416137857600077683214387640a + 434672859390137177285992136232 )x^{29} + (620960623886387403677996498116a^{2} - 110799966095375095678177740904a + 448350704697729944124728704312 )x^{28} + (437095125302093863357527463536a^{2} - 183417830652055513572437303760a - 195456390968717357028070391680 )x^{27} + (-163932090765818268991444742040a^{2} + 143839164964927275900150739544a + 271850461633425785564473439928 )x^{26} + (34876556302702986559153401960a^{2} - 271902577655279572754838326624a + 65256036204139510289354334752 )x^{25} + (-209293339397111525347276932728a^{2} - 486587654261929067854917976856a - 524860154418213162487442062536 )x^{24} + (-222206799651976881553722697952a^{2} - 25220035594273738936058189472a + 333674621389245543985619285280 )x^{23} + (-546445082310859593496157692680a^{2} + 520853771832870646914034541296a + 303241883575804564578034046936 )x^{22} + (101027145741527607773926773712a^{2} - 405401381992125862879049801936a + 298989153965778430841819784016 )x^{21} + (175602249336860121423479374152a^{2} - 225184158550232725911429775888a - 214738837746695810781515766160 )x^{20} + (-444518816265934332428192827024a^{2} + 181042447690388475551759582416a - 82177392558793051510440879904 )x^{19} + (431946160073762611463425543416a^{2} + 604726636799210522671231153960a + 96578934001766761316112184384 )x^{18} + (-420248850559349070714629820672a^{2} + 414633869025635099281300176368a - 288717216991016106014199150464 )x^{17} + (-59089984636504820778217631960a^{2} + 152317897005587739622951775820a + 61660916079322001380494752884 )x^{16} + (-94872005400378284972667902432a^{2} + 49570708692265988099741742592a + 550054332675839601651016527808 )x^{15} + (369465233566725975727032805120a^{2} + 600490769269587269944678755152a - 506488347011141362011598891632 )x^{14} + (-455454404477226645140828745168a^{2} - 398248728044639511298396549376a + 614137982046127592516273278384 )x^{13} + (621035652545659401072397090272a^{2} + 257983596009416648235654235608a - 320747375493430752308439336992 )x^{12} + (-194339096901517900092003609632a^{2} + 6498846436037239397024458336a - 213842522877206986161771395040 )x^{11} + (-42479868644079419245743155592a^{2} - 250475421233262522442415562848a - 515793176288669102573339953816 )x^{10} + (-553551821607109664502832218992a^{2} + 447806850461761748741240958656a + 529808793068806496742455162768 )x^{9} + (-338261563263183473521492686276a^{2} + 552770501556151862235745925716a + 101453209165169049153297208712 )x^{8} + (513213641240181401356343058976a^{2} - 370415305392165971252840501024a + 337234271080162335832110560384 )x^{7} + (436068631025239913481784996160a^{2} + 112437448831529912804049553840a - 408776450662027425986564552848 )x^{6} + (267774961585646724994692173088a^{2} + 312982331369979102659614390208a + 475910894680923524056121699520 )x^{5} + (-75620536680583594012057308384a^{2} + 364399870036816360904826975288a + 339323504749185587974782212176 )x^{4} + (-135141698996859095596879380192a^{2} - 33075782936298423922260278432a + 477061376249320262572260355104 )x^{3} + (-185208489413853491557928773456a^{2} - 347167405308923518255573241296a - 562867462090955536386683998352 )x^{2} + (577056265948478737868146377536a^{2} + 470338380436414773747335921456a + 219741836425568846879651894624 )x + 124965314326344379156046091548a^{2} + 177602099028158935177912510868a - 528551925211831054557834244740 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary