← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (382254423208128260215795535248a^{2} + 417336163802039336914392155276a + 365401872349038787976294797536 )x^{46} + (521161527402434690412325437112a^{2} + 507541999086249011578896439920a - 272775651874953677597227908984 )x^{45} + (530836891386844806865330939008a^{2} - 336172356897075877531324776664a + 41374100011687848870877195224 )x^{44} + (508066098605366048400092369680a^{2} + 301419778787329997115256911920a + 83004663662183531913662921168 )x^{43} + (-613153306654193514806205738740a^{2} + 494302323985982217356867397100a + 326561250955245406069989809500 )x^{42} + (494363435169690183314557097784a^{2} - 400645472966164326049478944464a + 309911483202809741619347519952 )x^{41} + (-239887207582721342131925789820a^{2} - 369379014826884472509450396980a - 43613569640409391267850890952 )x^{40} + (-582088758914124448175659155312a^{2} + 10396758060901086604840822624a - 38026819805299893363696914736 )x^{39} + (-412792890042039531273913738032a^{2} - 573492658700353351087513327600a + 599603368661374587088846668736 )x^{38} + (-450049124125522435167152039136a^{2} + 86843480547182173722702292152a - 631836038656818146590448317640 )x^{37} + (558433740770748216228979114944a^{2} - 251483351933871393189152682812a + 6412142326623943450178646136 )x^{36} + (469859130644231320919066034768a^{2} + 478617111926690808266043468000a + 455597195259724071852698595840 )x^{35} + (-412875606469519570726153447816a^{2} - 375508938744610712072781380560a + 243441123529978203020691112452 )x^{34} + (-347770526805253382636639570704a^{2} - 89425439263624620503103008648a + 144352047123662624529389675416 )x^{33} + (-357268190983778316410659465404a^{2} - 618158432875567819975772890790a - 2602237870893677745940589700 )x^{32} + (552136623652412207423279405632a^{2} + 106427170493717864062841991008a - 186643248886393052290837018224 )x^{31} + (240700397375793470122519863528a^{2} - 106442506600627858820430096960a + 403897185517504018957187934648 )x^{30} + (-207818402817140724322810921872a^{2} - 52555249016346195123009998904a - 2881055243624568499817262728 )x^{29} + (347688501130634786177772873156a^{2} + 458965123324230037216345713228a - 109740626481662825198580372216 )x^{28} + (457320503445615321034885971920a^{2} + 617631515358738193969594922976a + 48795804834339060009244983216 )x^{27} + (580395368753454569907690692008a^{2} + 192249878332614574846374673336a + 452191113586870537534059180072 )x^{26} + (-474058397729012316791686074928a^{2} + 507221132049833843636411927328a + 562545420449042024269563640512 )x^{25} + (611765211131637441330383328628a^{2} - 511235675917367296363505364076a + 415624279133077300243115205876 )x^{24} + (550324700776642144050912359936a^{2} - 613354473523525188968862659680a + 541885477665710332389108823344 )x^{23} + (-507055351835187521621227666448a^{2} + 204986824040147272736937768248a - 124766978801399672244767818816 )x^{22} + (147511537515567820146419812320a^{2} + 182024294074825530949552421392a - 140613430208314960185797060016 )x^{21} + (346935790524496254941858551272a^{2} + 43705720285270352286494964344a - 274950230366919242703585602128 )x^{20} + (-202356438429656063036448867712a^{2} + 561821691738670899138317765568a + 480775225383665797319477944832 )x^{19} + (499207555686791788022311157720a^{2} + 512287055239270900471534358480a + 624269449889319555768572412072 )x^{18} + (-567442756912506184336508122992a^{2} - 192032706127711771367744069040a + 195398327939189334509846745024 )x^{17} + (433868039478725707128904211652a^{2} - 296914055654169812600393267480a + 143190378178584574464777600776 )x^{16} + (-230494941652826257146326890368a^{2} + 520778253183660844721994511552a - 203505464478807099040518248896 )x^{15} + (-357156939560019938904311851144a^{2} - 274050559119340014630928999064a + 157715298454331897042364976944 )x^{14} + (-555771156790782336855337496448a^{2} + 209001927104814502169993439600a + 585827269386776377415595472928 )x^{13} + (-383359510297895925916492421736a^{2} + 184901310085414087436862514048a - 166900683802492587204772509352 )x^{12} + (-633013909491781433987336098144a^{2} + 306469298268377068227795618624a - 270762597640443499338030434304 )x^{11} + (-258373845511062397149476135600a^{2} - 460767746834561373794538309216a - 589044716381192104746260452120 )x^{10} + (-544913216202269329982671324576a^{2} + 110873091322516562896002837008a - 237683687076374309005225345424 )x^{9} + (569984771268621468840310747488a^{2} + 389764406174162825198340884108a - 88317568922083219777217127080 )x^{8} + (-528978202741078179058706808928a^{2} + 255120305248103953593208234752a + 68311309016012810429775103648 )x^{7} + (-372219972050718404374771177184a^{2} + 289884794712918466265264676352a + 298642112162168902357879319920 )x^{6} + (423603560384315151514588932656a^{2} - 65699895962957816809885258768a - 301035071733191624389653679280 )x^{5} + (281822321770588255799802169448a^{2} - 77259434156619634155181734232a + 63736569247439384391495028992 )x^{4} + (562963949168458349604422037920a^{2} + 2401758201072975937224253312a + 272327007279256557574569826720 )x^{3} + (548165343150307661887011442240a^{2} + 361876555775176553989375191968a + 219784721174957922329743591008 )x^{2} + (43414101642910809986174177888a^{2} - 287452482553481915588404143936a - 344952569298186638905418278560 )x + 585678793113256153729965217416a^{2} + 562285544525552097263175955048a + 624848216008704814046735790628 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary