← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (184230250354554771442584421800a^{2} + 103280952898305164001870497632a - 554750258565232861937487987012 )x^{46} + (394326236556358934991256472360a^{2} - 11272488964262917009988092120a - 27073743344975197779944441032 )x^{45} + (-422482349213654147805349749836a^{2} + 140950743537816818335996545248a - 15152934809934419129979325332 )x^{44} + (561386108106360991125119700712a^{2} - 369318876758313732600021934968a + 283446334477667506947726023016 )x^{43} + (195209721636511028783839870608a^{2} - 384207144614489708420642761164a - 75467422219365759039678888440 )x^{42} + (-86920160766752142081114263744a^{2} - 90216174080711835685426315816a + 174459799253698322162130746376 )x^{41} + (-328840549423539677826951640424a^{2} - 172134267469777852678731698576a - 525916892959112718325575349344 )x^{40} + (505891928853271431726873167888a^{2} + 151493575436588841409309348128a + 309349150787812817366882617024 )x^{39} + (-371470876451275716911335440040a^{2} - 242552576941870991535684502964a + 530798410746379483274600316028 )x^{38} + (-124414557750010295094917277792a^{2} - 346198536661885286049834996752a - 240272966466989100758352962760 )x^{37} + (309874148332066363641632307660a^{2} - 165460932408551888198415096212a + 292219679731331459613743063856 )x^{36} + (-365675308382684038798623889488a^{2} + 538433126422044836851156746032a - 483367622935072094648956869424 )x^{35} + (546255191788256443084989336480a^{2} + 34056496368396870934315534064a - 14735653695694803575963872612 )x^{34} + (451067516918694130958693036416a^{2} - 628975681318635298285891682488a - 374336065263306356239258119384 )x^{33} + (320781278687146358304320278562a^{2} + 41672395899322398658139064174a - 110449053861215995712225245818 )x^{32} + (405766895594092448301731638224a^{2} - 621479667140216955617507633264a - 477212923131826777289602700528 )x^{31} + (15990912313317844413343394696a^{2} - 476882982448731580606935924728a + 91765180811422841965084237368 )x^{30} + (-220954397784732923818524145784a^{2} + 441740810203272868650641297640a - 500310996087603814010536289336 )x^{29} + (80984617955386428955874306892a^{2} - 416608295088278834012972423984a - 428970164227962359101918822392 )x^{28} + (327407992401422759124699694832a^{2} + 430969904162873719209352956336a + 354800376963526361863493651456 )x^{27} + (480907299518265884006458919656a^{2} - 553519772010446680263345585304a + 248398955444387120344523072232 )x^{26} + (284328271573060631129339253880a^{2} + 551334273616935056399732435072a - 189884515657411921077947512496 )x^{25} + (515699202137233832223374140632a^{2} - 589389315952787220920774075992a - 576743608530014411430155880312 )x^{24} + (329947894082116374167883978976a^{2} + 154602516008989386727760398656a + 64486385754105155920905761984 )x^{23} + (403211058914633814021402928712a^{2} - 49939742517388286256646341648a + 102217726071753460989648255416 )x^{22} + (-360579233974977531948832697264a^{2} + 493784982224988614267708045296a + 171654166359748129167594918064 )x^{21} + (208707049135574525357834255744a^{2} + 166928232084170814385787129672a - 500053185866919474129027763632 )x^{20} + (-101809155223666013430385258800a^{2} + 40175666679625078125418026640a + 49736839225695156711716873344 )x^{19} + (48944594053227467719868506120a^{2} - 627107209864623448298144974360a + 544146199023643805488364487104 )x^{18} + (-423620080632932756203969906176a^{2} - 356025131998179440519472597904a + 5952680478326662168215651520 )x^{17} + (166541590630596577697263592360a^{2} + 444497674755416958726931570740a + 631452428286318055283690222836 )x^{16} + (-424209557619492950251639140832a^{2} - 488143981299208044040907921152a - 599590885018789352443416073152 )x^{15} + (612485996490043888731788670784a^{2} - 89325542747971587051666766448a - 247449166619871223267216827152 )x^{14} + (502793078255992237003166092368a^{2} + 288848555914834133421516884192a - 223848773769390542890958169680 )x^{13} + (546341106973734698112139992272a^{2} - 500480645506274230236132229496a - 466418193860187636909285839872 )x^{12} + (-214679743038722066338761925952a^{2} - 178414117203771870680907630368a - 284023714759796187126000495744 )x^{11} + (-582229423704986966209502681736a^{2} + 381384341901234006741941376064a + 398476647027712830796506558744 )x^{10} + (-42788477663422578686163364400a^{2} + 21017991274473651912975367168a + 125567839815761842157134584848 )x^{9} + (246237258722243342828245867308a^{2} - 218494174687892891134947719820a + 571583772862088144589519209192 )x^{8} + (-313194139719512476499151140960a^{2} + 40719842999525370326368579936a + 171673818851186724151090765824 )x^{7} + (-326521060594357252352292499968a^{2} - 581245948769903405260181083504a + 116453701733179789665416639856 )x^{6} + (-270013689470510335549981962144a^{2} + 260986596185857265318800354752a + 489114114468692168853659630944 )x^{5} + (-554668967961953713207388722992a^{2} + 586197865542044143817855773112a - 568190569662773246526682262016 )x^{4} + (98552156247415969581064339872a^{2} - 194790523356364920656035189728a + 363995734067297793451054712672 )x^{3} + (316041206591502984400394987024a^{2} + 243090509066479654905675442880a + 543805516175593886785502266656 )x^{2} + (-5184512635450741212578871552a^{2} + 504491578061086823906948839920a - 37364064194298048025449212608 )x + 192958209287167148063139478492a^{2} + 264651186070242087650519092884a + 138786607945579623558226473804 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary